太保國中 115 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)。設小妍、小華、小安原有 $a$、$b$、$c$ 元。花掉 $\frac{1}{3}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{4}$ 後，分別剩下 $\frac{2}{3}a$、$\frac{3}{5}b$、$\frac{1}{4}c$。三人剩下一樣多，設 $\frac{2}{3}a=\frac{3}{5}b=\frac{1}{4}c=k$，則 $a=\frac{3}{2}k$，$b=\frac{5}{3}k$，$c=4k$。

$a:b:c=\frac{3}{2}:\frac{5}{3}:4$，各乘以 $6$ 得 $9:10:24$。

答案 (B)。看 $△ABC$ 與 $△DCA$：$\angle B=\angle ACD$，夾這兩個角的邊分別是 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 與 $\overline{DC}$、$\overline{CA}$。$\overline{AB}:\overline{DC}=16:24=2:3$，$\overline{BC}:\overline{CA}=12:18=2:3$，兩組邊成比例且夾角相等，所以 $△ABC\sim △DCA$（SAS 相似），對應頂點是 $A$ 對 $D$、$B$ 對 $C$、$C$ 對 $A$。

第三組對應邊也成同樣的比：$\overline{AC}:\overline{DA}=2:3$，即 $18:\overline{AD}=2:3$，$\overline{AD}=27$。

答案 (C)。看 $△ABP$ 與 $△ACQ$：$\overrightarrow{AQ}$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAP=\angle CAQ$；又 $\angle ABP=\angle ACQ=90^{\circ }$，所以 $△ABP\sim △ACQ$（AA 相似），$\overline{BP}$ 對應 $\overline{CQ}$，$\overline{AP}$ 對應 $\overline{AQ}$。

$\overline{AP}:\overline{AQ}=\overline{BP}:\overline{CQ}$，即 $5:\overline{AQ}=3:9$，$3\times \overline{AQ}=45$，$\overline{AQ}=15$。所以 $\overline{PQ}=\overline{AQ}-\overline{AP}=15-5=10$。

答案 (D)。正方形 $ABCD$ 面積 $100$，邊長 $10$；正方形 $CEFG$ 面積 $16$，邊長 $4$。$\overline{DE}=\overline{DC}-\overline{EC}=10-4=6$。

$\overline{AD}\perp \overline{DC}$，$\overline{FE}\perp \overline{DC}$，所以 $\overline{AD}\parallel \overline{FE}$，$\angle DAH=\angle EFH$（內錯角），又 $\angle AHD=\angle FHE$（對頂角），所以 $△AHD\sim △FHE$（AA 相似）。對應邊成比例：$\overline{DH}:\overline{EH}=\overline{AD}:\overline{FE}=10:4=5:2$。$\overline{DE}=6$ 分成 $5+2=7$ 份，$\overline{DH}=6\times \frac{5}{7}=\frac{30}{7}$。

答案 (B)。用方格上的水平、鉛直距離配合畢氏定理算邊長。原四邊形從直角頂點出發，兩鄰邊都是 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，另外兩邊是 $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

圖 (B)：直角的兩鄰邊都是 $2$，另外兩邊是 $4$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。依序比較：$\sqrt{5}:2=\sqrt{5}:2=2\sqrt{5}:4=\sqrt{10}:2\sqrt{2}$，四組邊成同一個比。再把兩個四邊形都從直角的兩鄰邊端點連一條對角線，各分成兩個三角形：直角的那兩個（兩股相等）由 SAS 相似，對角線長分別是 $\sqrt{10}$ 與 $2\sqrt{2}$，比也是 $\sqrt{5}:2$；另外兩個由 SSS 相似。所以對應角都相等，兩個四邊形相似。

其他選項：(A) 直角兩鄰邊都是 $\sqrt{5}$，但第三邊是 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，$5:\sqrt{5}$ 與原圖的 $2\sqrt{5}:\sqrt{5}=2$ 不同，不相似。(C) 標直角記號的頂點，兩鄰邊是 $2$ 與 $3$，不相等，而原圖直角的兩鄰邊相等，不相似。(D) 直角的兩鄰邊是 $\sqrt{5}$ 與 $\sqrt{1.5^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{5}$，不相等，不相似。

答案 (C)。設 $△ABC$ 的面積為 $S$。$△ADC$ 與 $△ABC$ 都以 $C$ 為頂點，底在 $\overline{AB}$ 上，等高，面積比等於底的比：$△ADC=\frac{2}{5}S$。同理 $△DBC=\frac{3}{5}S$。

$△DBE$ 與 $△DBC$ 都以 $D$ 為頂點，底在 $\overline{BC}$ 上，$\overline{BE}:\overline{BC}=3:5$，所以 $△DBE=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}S=\frac{9}{25}S$。又 $△ADC=\frac{2}{5}S=\frac{10}{25}S$，所以 $△DBE:△ADC=9:10$。

答案 (D)。$△ADE$ 與 $△BDE$ 都以 $E$ 為頂點，底 $\overline{AD}$、$\overline{DB}$ 在同一直線上，等高，所以 $\overline{AD}:\overline{DB}=16:24=2:3$。$\overline{DE}\parallel \overline{BC}$，所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=\overline{AD}:\overline{DB}=2:3$。

$△ABE$ 面積 $=16+24=40$。$△ABE$ 與 $△CBE$ 都以 $B$ 為頂點，底 $\overline{AE}$、$\overline{EC}$ 在同一直線上，面積比 $=2:3$，所以 $△BCE=40\times \frac{3}{2}=60{\text{ cm}}^2$。

答案 (B)。$\overline{FE}\parallel \overline{BC}$，所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=\overline{AF}:\overline{FB}=17:5$。設 $\overline{AC}=22k$，則 $\overline{AE}=17k$，$\overline{EC}=5k$；$D$ 是中點，$\overline{AD}=11k$。$\overline{DE}=\overline{AE}-\overline{AD}=6k$，所以 $\overline{DE}>\overline{EC}$。

在 $△ABE$ 中，$F$ 在 $\overline{AB}$ 上、$D$ 在 $\overline{AE}$ 上。若 $\overline{FD}\parallel \overline{BE}$，就要 $\overline{AF}:\overline{FB}=\overline{AD}:\overline{DE}$；但 $\overline{AF}:\overline{FB}=17:5$，$\overline{AD}:\overline{DE}=11:6$，兩個比不相等，所以 $\overline{FD}$ 與 $\overline{BE}$ 不平行。