正義高中 115 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)。$3$、$5$、$2$ 的最小公倍數是 $30$。設 $3a=5b=2c=30k$（$k\ne 0$），則 $a=10k$、$b=6k$、$c=15k$。

所以 $a:b:c=10:6:15$。

答案 (C)。設甲、乙、丙原有 $3k$、$5k$、$6k$ 元，三人共 $14k$ 元。丙給出兩個 $30$ 元後，三人的總錢數不變，仍是 $14k$ 元。

新的比是 $7:11:10$，共 $28$ 份，所以甲後來有 $14k\times \frac{7}{28}=\frac{7k}{2}$ 元。甲多了 $30$ 元：$3k+30=\frac{7k}{2}$，得 $\frac{k}{2}=30$，$k=60$。

三人共有 $14\times 60=840$ 元。

答案 (B)。$A$、$B$、$C$ 共線，$\angle ABF=\angle ACE=50^{\circ }$ 是同位角，所以 $\overline{BF}\parallel \overline{CE}$。同理 $\angle ACE=\angle FDE=50^{\circ }$ 也是同位角，所以 $\overline{CA}\parallel \overline{DF}$。

四邊形 $BCDF$ 的兩組對邊都平行，是平行四邊形，所以 $\overline{BF}=\overline{CD}=2$，$\overline{DF}=\overline{CB}=4$。

看 $△ABF$ 與 $△FDE$：$\angle ABF=\angle FDE=50^{\circ }$；$\overline{BF}\parallel \overline{DE}$，所以 $\angle AFB=\angle FED$（同位角）。兩個三角形相似（AA），對應頂點是 $A$ 對 $F$、$B$ 對 $D$、$F$ 對 $E$。

$\overline{AB}:\overline{FD}=\overline{BF}:\overline{DE}$，即 $3:4=2:x$，$3x=8$，$x=\frac{8}{3}$。

答案 (D)。三角形內角和是 $180^{\circ }$，先求出每塊紙板的第三個角：

戊：$180^{\circ }-45^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ }$，三個角是 $45^{\circ }$、$55^{\circ }$、$80^{\circ }$。

甲：第三角 $45^{\circ }$，三個角 $55^{\circ }$、$80^{\circ }$、$45^{\circ }$，與戊相似（AA）。

乙：第三角 $80^{\circ }$，三個角 $55^{\circ }$、$45^{\circ }$、$80^{\circ }$，與戊相似。

丙：第三角 $55^{\circ }$，三個角 $45^{\circ }$、$80^{\circ }$、$55^{\circ }$，與戊相似。

丁：第三角 $60^{\circ }$，三個角 $55^{\circ }$、$65^{\circ }$、$60^{\circ }$，沒有 $45^{\circ }$ 與 $80^{\circ }$，與戊不相似。

答案 (C)。相似多邊形對應角相等，$B$ 對應 $Q$，所以 $\angle B=\angle Q=80^{\circ }$。

四邊形內角和是 $360^{\circ }$，$\angle C+\angle D=360^{\circ }-120^{\circ }-80^{\circ }=160^{\circ }$。$\angle C:\angle D=3:1$，共 $4$ 份，一份是 $40^{\circ }$，$\angle C=120^{\circ }$。

$R$ 對應 $C$，所以 $\angle R=\angle C=120^{\circ }$。

答案 (C)。放大 $120\%$ 就是邊長變成原來的 $1.2$ 倍，連續兩次：$10\times 1.2\times 1.2=14.4$ 公分。

新正方形的周長 $=4\times 14.4=57.6$ 公分。

答案 (C)。$\angle AEB=\angle CED$（對頂角）。

比較夾這兩個角的邊：$\overline{AE}:\overline{CE}=3:9=1:3$，$\overline{BE}:\overline{DE}=2:6=1:3$。兩組邊成比例且夾角相等，所以 $△AEB$ 與 $△CED$ 相似（SAS），對應頂點是 $A$ 對 $C$、$E$ 對 $E$、$B$ 對 $D$。

$\overline{AB}:\overline{CD}=1:3$，即 $4:\overline{CD}=1:3$，$\overline{CD}=12$。

答案 (A)。長方形的四個角都是直角，所以 $\angle ECF=90^{\circ }$（$\angle DCB$ 的鄰補角），$\angle ABF=90^{\circ }$。

$△CEF$ 與 $△BAF$ 中：$\angle ECF=\angle ABF=90^{\circ }$，$\angle F$ 是共用的角，所以兩個三角形相似（AA），對應頂點是 $C$ 對 $B$、$E$ 對 $A$、$F$ 對 $F$。

其他三個選項：$△AGD$ 有 $\angle DAG=\angle F$（$\overline{AD}\parallel \overline{BF}$ 的內錯角），但 $\angle ADG$ 不是直角，也不一定等於 $\angle CEF$；$△GED$ 有 $\angle GED=\angle CEF$（對頂角），但 $\angle EDG$ 不是直角，也不一定等於 $\angle F$；$△ABG$ 有 $\angle BAG=\angle CEF$（都是 $90^{\circ }-\angle F$），但 $\angle ABG$ 不是直角，也不一定等於 $\angle F$。這三個都無法由已知條件判定相似。

答案 (B)。$\overline{AQ}$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAP=\angle CAQ$；又 $\angle ABP=\angle ACQ=90^{\circ }$。

$△ABP$ 與 $△ACQ$ 相似（AA），對應頂點是 $A$ 對 $A$、$B$ 對 $C$、$P$ 對 $Q$。

$\overline{AP}:\overline{AQ}=\overline{PB}:\overline{QC}=3:9=1:3$，所以 $\overline{AQ}=15$，$\overline{PQ}=\overline{AQ}-\overline{AP}=15-5=10$。

答案 (D)。$\angle B=90^{\circ }$，斜邊是 $\overline{AC}=10$。$30^{\circ }$、$60^{\circ }$、$90^{\circ }$ 的直角三角形中，$30^{\circ }$ 角所對的邊是斜邊的一半，所以 $\overline{AB}=5$（$\angle C=30^{\circ }$ 的對邊）。

由畢氏定理，$\overline{BC}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。

答案 (B)。看 $△ABC$ 與 $△ACD$：$\angle BAC=\angle CAD$（已知）。

夾這兩個角的邊：$\overline{AB}:\overline{AC}=9:12=3:4$，$\overline{AC}:\overline{AD}=12:16=3:4$。兩組邊成比例且夾角相等，所以 $△ABC\sim △ACD$（SAS），對應頂點是 $A$ 對 $A$、$B$ 對 $C$、$C$ 對 $D$。

所以 $\angle ABC$ 的對應角是 $\angle ACD$，也就是 $\angle 2$。

答案 (A)。$\overline{AD}\parallel \overline{CF}$，所以 $△ADE$ 與 $△FCE$ 相似（AA：內錯角、對頂角），$\overline{DE}:\overline{CE}=\overline{AD}:\overline{FC}=2:3$。

$△ADE$ 與 $△ACE$ 的底邊 $\overline{DE}$、$\overline{CE}$ 在同一直線上，頂點都是 $A$，面積比 $=2:3$，所以 $△ACE$ 的面積 $=6$，$△ACD$ 的面積 $=4+6=10$，平行四邊形 $ABCD$ 的面積 $=2\times 10=20$。

$△DCF$ 的底 $\overline{CF}=\frac{3}{2}\overline{AD}=\frac{3}{2}\overline{BC}$，高與平行四邊形相同（$D$ 到直線 $BF$ 的距離），所以 $△DCF$ 的面積 $=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 20=15$。

四邊形 $ABFD$ 的面積 $=20+15=35$。

答案 (C)。正方形面積 $16$，邊長 $4$。

$G$ 在 $\overline{AD}$ 上，到 $\overline{BC}$ 的距離是正方形的邊長 $4$，所以 $△GBC$ 的面積 $=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$。$G$ 在 $\overline{EC}$ 上，$△EBC=△EBG+△GBC=6+8=14$。

設 $E$ 到 $\overline{BC}$ 的距離為 $h$，$\frac{1}{2}\times 4\times h=14$，$h=7$，所以 $E$ 到 $\overline{AD}$ 的距離是 $7-4=3$。

$\overline{FG}\parallel \overline{BC}$，$△EFG$ 與 $△EBC$ 相似（AA），對應高的比等於對應邊的比，所以 $\overline{FG}:\overline{BC}=3:7$。

答案 (A)。從 $A$ 畫東西向的直線。向東 $x$ 公里的點記作 $P$，向西 $6$ 公里的點記作 $Q$，則 $\overline{PB}=5$ 向南、$\overline{QC}=10$ 向北，都與東西線垂直。

$A$、$B$、$C$ 共線且 $A$ 在 $B$、$C$ 之間，所以 $\angle PAB=\angle QAC$（對頂角）；又 $\angle APB=\angle AQC=90^{\circ }$。$△APB$ 與 $△AQC$ 相似（AA）。

$\overline{AP}:\overline{AQ}=\overline{PB}:\overline{QC}$，即 $x:6=5:10$，$x=3$。

$5a:4c=10:8$，內項乘積等於外項乘積：$40a=40c$，所以 $a=c$。

$3b:7c=9:14$：$42b=63c$，所以 $b=\frac{3}{2}c$。

$a:b:c=c:\frac{3}{2}c:c=2:3:2$。

$\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{1}{3}\overline{AC}$，兩邊乘 $6$：$3\overline{AB}=2\overline{AC}$，$\overline{AB}:\overline{AC}=2:3=4:6$。

$5\overline{AB}=4\overline{BC}$，所以 $\overline{AB}:\overline{BC}=4:5$。

$\overline{AB}:\overline{AC}:\overline{BC}=4:6:5$，共 $15$ 份，周長 $60$，一份是 $4$，所以 $\overline{BC}=5\times 4=20$。

$\overline{AD}=\frac{1}{2}\overline{DB}$，所以 $\overline{AD}:\overline{DB}=1:2$，$\overline{BD}:\overline{BA}=2:3$。$\overline{AE}=2\overline{EC}$，所以 $\overline{AE}:\overline{AC}=2:3$。

$△ABE$ 與 $△ABC$ 的底 $\overline{AE}$、$\overline{AC}$ 在同一直線上，頂點都是 $B$，所以 $△ABE=\frac{2}{3}△ABC$。

$△BDE$ 與 $△BAE$ 的底 $\overline{BD}$、$\overline{BA}$ 在同一直線上，頂點都是 $E$，所以 $△BDE=\frac{2}{3}△ABE=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}△ABC=\frac{4}{9}△ABC$。

所求為 $\frac{4}{9}$。

$\overline{DE}\parallel \overline{BC}$，所以 $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}$，即 $(x-3):(3x-19)=3:4$。

$4(x-3)=3(3x-19)$，$4x-12=9x-57$，$5x=45$，$x=9$。

$\overline{BC}=\overline{AC}-\overline{AB}=21-7=14$。三條平行線截兩條截線，截出的線段成比例：$\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{DE}:\overline{EF}$。

$7:14=(3x+2):(7x+2)$，即 $1:2=(3x+2):(7x+2)$，$2(3x+2)=7x+2$，$6x+4=7x+2$，$x=2$。

在 $△AFG$ 中，$\overline{DE}\parallel \overline{FG}$，所以 $\overline{AE}:\overline{EG}=\overline{AD}:\overline{DF}=3:5$。

在 $△ABG$ 中，$\overline{EF}\parallel \overline{BG}$，所以 $\overline{AF}:\overline{FB}=\overline{AE}:\overline{EG}=3:5$。

設 $\overline{AD}=3k$、$\overline{DF}=5k$，則 $\overline{AF}=8k$，$\overline{FB}=\frac{40}{3}k$，$\overline{AB}=\frac{64}{3}k$，$\overline{AF}:\overline{AB}=8:\frac{64}{3}=3:8$。

在 $△ABC$ 中，$\overline{FG}\parallel \overline{BC}$，所以 $\overline{AG}:\overline{AC}=\overline{AF}:\overline{AB}=3:8$。又 $\overline{AE}:\overline{AG}=3:8$（由第一步，$\overline{AE}:\overline{EG}=3:5$）。

設 $\overline{AC}=64t$，則 $\overline{AG}=24t$，$\overline{AE}=9t$，所以 $\overline{AE}:\overline{AC}=9:64$。

$BCDE$ 是平行四邊形，所以 $\overline{ED}=\overline{BC}=9$，且 $\overline{EF}\parallel \overline{BC}$。

$\overline{AE}=2\overline{BE}$，所以 $\overline{AE}:\overline{AB}=2:3$。$△AEF$ 與 $△ABC$ 相似（AA），$\overline{EF}:\overline{BC}=\overline{AE}:\overline{AB}=2:3$，$\overline{EF}=6$。

$\overline{DF}=\overline{ED}-\overline{EF}=9-6=3$。

三角形兩邊中點的連線段，長度是第三邊的一半。

$D$、$E$ 是 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 的中點，$\overline{BC}=2\overline{DE}=12$；$D$、$F$ 是 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 的中點，$\overline{AC}=2\overline{DF}=10$；$E$、$F$ 是 $\overline{AC}$、$\overline{BC}$ 的中點，$\overline{AB}=2\overline{EF}=8$。

周長 $=12+10+8=30$ 公尺。

原點記作 $O$。$\overline{OA}=4$，$\overline{OB}=3$，由畢氏定理 $\overline{AB}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。$\overline{AC}=4-(-5)=9$。

從 $C$ 作直線 $L$ 的垂線，垂足為 $H$，$\overline{CH}$ 就是最短距離。

$△AOB$ 與 $△AHC$ 中：$\angle AOB=\angle AHC=90^{\circ }$，$\angle OAB=\angle HAC$（同一個角），所以兩個三角形相似（AA），對應頂點是 $A$ 對 $A$、$O$ 對 $H$、$B$ 對 $C$。

$\overline{OB}:\overline{HC}=\overline{AB}:\overline{AC}$，即 $3:\overline{CH}=5:9$，$\overline{CH}=\frac{27}{5}$。

$\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=4+2=6$，$\overline{BC}=\overline{BE}+\overline{EC}=3+1=4$。

看 $△BDC$ 與 $△BEA$：$\angle B$ 是共用的角。夾 $\angle B$ 的邊：$\overline{BD}:\overline{BE}=2:3$，$\overline{BC}:\overline{BA}=4:6=2:3$。兩組邊成比例且夾角相等，所以兩個三角形相似（SAS），對應頂點是 $B$ 對 $B$、$D$ 對 $E$、$C$ 對 $A$。

$\overline{DC}:\overline{EA}=2:3$，即 $\overline{CD}:5=2:3$，$\overline{CD}=\frac{10}{3}$。

看 $△ABE$ 與 $△ADB$：$\angle BAE=\angle DAB$（$E$ 在 $\overline{AD}$ 上，是同一個角），$\angle ABE=\angle 1=\angle D=\angle ADB$。兩個三角形相似（AA），對應頂點是 $A$ 對 $A$、$B$ 對 $D$、$E$ 對 $B$。

$\overline{AB}:\overline{AD}=\overline{AE}:\overline{AB}$，即 $5:\overline{AD}=3.5:5$，$3.5\overline{AD}=25$，$\overline{AD}=\frac{25}{3.5}=\frac{50}{7}$。

$\overline{AB}\perp \overline{BE}$，$\overline{CD}\perp \overline{BE}$，所以 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$。$△EDC$ 與 $△EBA$ 相似（AA：$\angle E$ 共用、直角相等）。

$\overline{EB}=\overline{BD}+\overline{DE}=6+1.5=7.5$ 公尺。

$\overline{CD}:\overline{AB}=\overline{ED}:\overline{EB}$，即 $1:\overline{AB}=1.5:7.5=1:5$，$\overline{AB}=5$ 公尺。

三角形的面積不論用哪一邊當底都相同。設面積為 $S$，則 $\frac{1}{2}ap=\frac{1}{2}bq=\frac{1}{2}cr=S$，所以 $ap=bq=cr=2S$。

設 $p=5k$、$q=3k$、$r=2k$（$k>0$），則 $5ka=3kb=2kc$，即 $5a=3b=2c$。

$5$、$3$、$2$ 的最小公倍數是 $30$，設 $5a=3b=2c=30m$，則 $a=6m$、$b=10m$、$c=15m$，$a:b:c=6:10:15$。

周長 $6m+10m+15m=31m=62$，$m=2$。

所以 $a=12$ 公分，$b=20$ 公分，$c=30$ 公分。

(1) $△AEF\cong △ADF$，對應頂點是 $A$ 對 $A$、$E$ 對 $D$、$F$ 對 $F$，所以對應角 $\angle EAF=\angle DAF$。又已知 $\angle BAE=\angle DAF$，所以 $\angle BAE=\angle DAF=\angle EAF$。

(2) $E$、$F$、$D$ 三點共線，$\overline{ED}=\overline{EF}+\overline{FD}=2+2=4$。

$F$ 在 $\overline{AC}$ 上，所以 $\angle BAC=\angle BAE+\angle EAF$；又 $\angle EAD=\angle EAF+\angle FAD$。由 (1)，三個角都相等，所以 $\angle BAC=\angle EAD$。

$△ABC$ 與 $△AED$ 中：$\angle BAC=\angle EAD$，$\angle C=\angle D$（已知；$\angle D$ 就是 $\angle ADE$），所以兩個三角形相似（AA），對應頂點是 $A$ 對 $A$、$B$ 對 $E$、$C$ 對 $D$。

$\overline{BC}:\overline{ED}=\overline{AC}:\overline{AD}$，即 $8:4=\overline{AC}:3$，$\overline{AC}=6$。