美崙國中 115 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。由 $\frac{x}{5}=\frac{y}{3}$ 得 $x:y=5:3$；由 $3y=2z$ 得 $y:z=2:3$。

兩個比裡都有 $y$，$3$ 與 $2$ 的最小公倍數是 $6$：$x:y=5:3=10:6$，$y:z=2:3=6:9$。所以 $x:y:z=10:6:9$。

答案 (C)。$△ADE$ 與 $△ABC$ 中，$\angle A$ 共用，$\angle ADE=\angle B$，所以 $△ADE\sim △ABC$（AA 相似）。對應頂點是 $A$ 對 $A$、$D$ 對 $B$、$E$ 對 $C$。

$\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=15+9=24$。所以 $\overline{DE}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{AB}=15:24=5:8$。

答案 (B)。五邊形 $ABCDE\sim$ 五邊形 $PQRST$，對應頂點依序是 $A$ 對 $P$、$B$ 對 $Q$、$C$ 對 $R$、$D$ 對 $S$、$E$ 對 $T$，對應邊成比例。

$\overline{AB}:\overline{PQ}=18:21=6:7$，$\overline{CD}$ 對應 $\overline{RS}$，所以 $\overline{CD}:14=6:7$，$\overline{CD}=14\times \frac{6}{7}=12$。

答案 (A)。相似多邊形的對應角相等：$\angle C=\angle R=105^{\circ }$，$\angle A=\angle P=115^{\circ }$。

五邊形內角和 $=(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }$。所以 $\angle E=540^{\circ }-115^{\circ }-120^{\circ }-105^{\circ }-100^{\circ }=100^{\circ }$。

依題目計算 $x=2$，卷面的四個選項 $8$、$10$、$12$、$16$ 都不是這個數。

算法：三條平行線截兩條直線，截出的線段成比例：$\overline{DE}:\overline{DF}=\overline{AB}:\overline{AC}=2:7$。$\overline{DF}=\overline{DE}+\overline{EF}=(x+1)+(4x-0.5)=5x+0.5$。

所以 $(x+1):(5x+0.5)=2:7$，$7(x+1)=2(5x+0.5)$，$7x+7=10x+1$，$3x=6$，$x=2$。

答案 (C)。

(A) 正確。 $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，$\overline{AE}:\overline{AC}=1:2$。

(B) 正確。 $\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}=1:2$，且 $\angle A$ 共用，所以 $△ADE\sim △ABC$（SAS 相似）。

(C) 錯誤。 連 $\overline{BE}$。$△ADE$ 與 $△ABE$ 的底邊 $\overline{AD}$、$\overline{AB}$ 在同一直線上，頂點都是 $E$，面積比 $=\overline{AD}:\overline{AB}=1:2$；$△ABE$ 與 $△ABC$ 的底邊 $\overline{AE}$、$\overline{AC}$ 在同一直線上，頂點都是 $B$，面積比 $=1:2$。所以 $△ADE$ 面積是 $△ABC$ 面積的 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，面積比是 $1:4$，不是 $1:2$。

(D) 正確。 三角形兩邊中點的連線等於第三邊的一半，$\overline{DE}=\frac{1}{2}\overline{BC}$；又 $\overline{AD}=\frac{1}{2}\overline{AB}$，$\overline{AE}=\frac{1}{2}\overline{AC}$。三邊都是一半，周長比是 $1:2$。

答案 (A)。圖中直角三角形的三邊是 $3$、$4$、$5$。把各選項從小到大排，看三組邊是否成比例（SSS 相似）。

(A) $9$、$12$、$15$：$9:3=12:4=15:5=3$，三組邊成比例，相似。

(B) $8$、$10$、$12$：$8:3$、$10:4$、$12:5$ 不相等，不相似。

(C) $15$、$18$、$21$：$15:3=5$，$18:4=4.5$，不相等，不相似。

(D) $9$、$16$、$25$：$9+16=25$，兩短邊的和等於最長邊，根本圍不成三角形。

答案 (D)。$\angle 1$、$\angle 2$ 就是 $△ABC$ 的 $\angle BAC$ 與 $△ADE$ 的 $\angle DAE$（圖中 $\overline{BD}$、$\overline{CE}$ 交於 $A$）。對應頂點是 $A$ 對 $A$、$B$ 對 $D$、$C$ 對 $E$。

(A) 可以確認：夾 $\angle 1$、$\angle 2$ 的兩組邊成比例，SAS 相似。

(B) 可以確認：再有一組角相等，AA 相似。

(C) 可以確認：同 (B)，AA 相似。

(D) 無法確認：$\overline{BC}$、$\overline{DE}$ 不是夾 $\angle 1$、$\angle 2$ 的邊，兩組邊成比例加上一組不是夾角的角相等，不是 SAS，不能判定相似。

答案 (C)。由上題，$△DBE$ 面積 $36$，$△DBC$ 面積 $=36+24=60$。

$△DBC$ 與 $△ABC$ 的底邊 $\overline{BD}$、$\overline{BA}$ 在同一直線上，頂點都是 $C$，面積比 $=\overline{BD}:\overline{BA}=3:(3+2)=3:5$。所以 $△ABC$ 面積 $=60\times \frac{5}{3}=100$。

$△DBE$ 面積 $:△ABC$ 面積 $=36:100=9:25$。

答案 (D)。金蜜 $:$ 鮮奶 $=1:6$，鮮奶 $:$ 紅茶 $=1:3=6:18$，所以金蜜 $:$ 鮮奶 $:$ 紅茶 $=1:6:18$。

設三者分別是 $k$、$6k$、$18k$ 毫升，$k+6k+18k=25k=1000$，$k=40$。金蜜＋鮮奶 $=7k=280$ 毫升。

答案 (D)。$△ADE\sim △ACB$，對應頂點是 $A$ 對 $A$、$D$ 對 $C$、$E$ 對 $B$，所以 $\overline{AD}:\overline{AC}=\overline{DE}:\overline{CB}=\overline{AE}:\overline{AB}$。

$\overline{DE}:\overline{CB}=4:10=2:5$，所以 $8:\overline{AB}=2:5$，$\overline{AB}=20$。

答案 (C)。

在 $△ACF$ 中，$\overline{BG}\parallel \overline{CF}$，所以 $△ABG\sim △ACF$（AA 相似），$\overline{BG}:\overline{CF}=\overline{AB}:\overline{AC}=1:4$，$\overline{BG}=28\times \frac{1}{4}=7$。

三條平行線截 $\overline{AC}$、$\overline{DF}$ 成比例：$\overline{DE}:\overline{EF}=\overline{AB}:\overline{BC}=1:3$，所以 $\overline{FE}:\overline{FD}=3:4$。在 $△FAD$ 中，$\overline{GE}\parallel \overline{AD}$，$△FGE\sim △FAD$（AA 相似），$\overline{GE}=8\times \frac{3}{4}=6$。

$\overline{BE}=\overline{BG}+\overline{GE}=7+6=13$。

(1) 甲有兩個角是 $50^{\circ }$、$40^{\circ }$，第三個角是 $180^{\circ }-50^{\circ }-40^{\circ }=90^{\circ }$。C 有兩個角是 $40^{\circ }$、$90^{\circ }$，第三個角是 $50^{\circ }$。兩組角相等，甲和 C 相似，根據 AA 相似性質。

(2) 乙的兩邊都是 $3$，夾角 $40^{\circ }$；A 的兩邊都是 $5$，夾角 $40^{\circ }$。$3:5=3:5$，兩組邊成比例且夾角相等，乙和 A 相似，根據 SAS 相似性質。

(3) 丙的三邊是 $2$、$4$、$5$；D 的三邊是 $4$、$8$、$10$。$2:4=4:8=5:10=1:2$，三組邊成比例，丙和 D 相似，根據 SSS 相似性質。

(1) 長方形的 $\angle B=90^{\circ }$，由畢氏定理 ${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2=40^2+30^2=2500$，$\overline{AC}=50$。

(2) 長方形的對邊平行：$\overline{AB}\parallel \overline{DC}$。三種寫法任選一種：

從 $\angle 1=\angle 2$ 出發：$\angle 1=\angle 2$（對頂角），$\overline{AB}\parallel \overline{DC}$，內錯角 $\angle EAG=\angle FCG$，所以 $△AGE\sim △CGF$，AA 相似性質。

從 $\angle AEG=\angle CFG$ 出發：$\overline{AB}\parallel \overline{DC}$，內錯角 $\angle AEG=\angle CFG$，又 $\angle 1=\angle 2$（對頂角），所以 AA 相似性質。

從 $\overline{AE}:\overline{CF}=2:3$ 出發：$\overline{AE}:\overline{CF}=8:12=2:3$，$\overline{EG}:\overline{FG}=12:18=2:3$，夾角 $\angle AEG=\angle CFG$（內錯角），所以 SAS 相似性質。