南山高中 110 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。

① 兩邊平方：$(\sin B+\cos B{)}^2=1+2\sin B\cos B=1+\sin 2B=\frac{16}{9}$，所以 $\sin 2B=\frac{7}{9}$。

② 等腰三角形 $\angle A=180^{\circ }-2B$，所以 $\sin A=\sin (180^{\circ }-2B)=\sin 2B=\frac{7}{9}$。

③ 因為 $B>45^{\circ }$，$2B>90^{\circ }$，所以 $\angle A=180^{\circ }-2B<90^{\circ }$，是銳角。

④ 比較大小：$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$，$\sin A=\frac{7}{9}\approx 0.778$，$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$，所以 $\sin 45^{\circ }<\sin A<\sin 60^{\circ }$。

⑤ 銳角範圍內正弦遞增，得 $45^{\circ }<\angle A<60^{\circ }$。

答案 (3)。

答案 (5)。

① $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，表示 $P$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

② $\overrightarrow{QC}+2\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{0}$，表示 $Q$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $\overline{CQ}:\overline{QD}=2:1$，$\overrightarrow{CQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。

③ 相加：$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CQ}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

④ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 不平行，係數唯一，所以 $x=-\frac{2}{3}$（$y=\frac{1}{2}$）。

答案 (5)。

答案 (3)。

① 疊合：$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$。

② 用差角公式：$\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。

③ 所以 $y=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$，是把 $y=2\sin x$ 的圖形向右平移 $\frac{\pi }{3}$。

答案 (3)。

答案 (3)。

① $7$ 年是 $84$ 個月，每個月變為 $a$ 倍，$84$ 個月後是 $7500$ 倍：$a^{84}=7500$。

② 由 $2250$ 美元漲到 $22500$ 美元是 $10$ 倍。設再經過 $m$ 個月，$a^m=10$。

③ 兩式取常用對數：$84\log a=\log 7500$，$m\log a=1$，相除得 $m=\frac{84}{\log 7500}$。

④ $\log 7500=\log 3+\log 2500=\log 3+4-2\log 2\approx 0.4771+4-0.6020=3.8751$（卷面沒有給對數值，這裡用常用近似值 $\log 2\approx 0.3010$、$\log 3\approx 0.4771$）。

⑤ $m\approx \frac{84}{3.8751}\approx 21.7$，也就是大約 $1$ 年 $9.7$ 個月。

⑥ 從 $2017$ 年 $5$ 月 $23$ 日往後 $1$ 年 $9$ 個月是 $2019$ 年 $2$ 月 $23$ 日，再約 $0.7$ 個月，落在 $2019$ 年 $3$ 月中旬。

答案 (3)。

答案 (1)。

① 先算三個值：$a={\log }_{2}8=3$；$b={\log }_{3}1=0$；$c={\log }_{0.5}8={\log }_{2^{-1}}{2}^3=-3$。

(1) 正確。 $b=0$。

(2) 錯誤。 $a+b+c=3+0-3=0$，不大於 $0$。

(3) 錯誤。 $a=3$，$c=-3$，$b=0$，$c<b$，所以 $a>c>b$ 不成立。

(4) 錯誤。 $a^2=9$，$b^2=0$，$c^2=9$，$b^2>c^2$ 不成立。

(5) 錯誤。 $2^a=8$，$3^b=1$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$，$3^b>{\left(\frac{1}{2}\right)}^c$ 不成立。

答案 (1)。

答案 (5)。

① 先算 $\overrightarrow{AB}=(1,2,-2)$，$\overline{AB}=\sqrt{1+4+4}=3$。

(1) 錯誤。 $xy$ 平面是 $z=0$，法向量是 $(0,0,1)$ 的非零倍數，$(1,1,0)$ 躺在 $xy$ 平面上，不是法向量。

(2) 錯誤。 $A$、$B$ 在 $xy$ 平面的投影點是 $A^{\prime }(1,2,0)$、$B^{\prime }(2,4,0)$，$a=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。

(3) 錯誤。 $E$ 的法向量 $\vec{n}=(2,1,2)$，$\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=2+2-4=0$；再把 $A$ 代入 $2+2+6=10$，$A$ 在 $E$ 上。所以直線 $AB$ 整條落在平面 $E$ 上，不是平行。

(4) 錯誤。 直線 $AB$ 在 $E$ 上，投影就是自己，$b=3$；$a=\sqrt{5}<3=b$。

(5) 正確。 直線 $AB$：$(x,y,z)=(1+t,2+2t,3-2t)$。取 $t=-1$ 得 $(0,0,5)$，在 $z$ 軸上，所以兩直線交於 $(0,0,5)$。

答案 (5)。

答案 (1)(2)(5)。

① $\tan \angle ABC=\frac{3}{4}$，$\angle ABC$ 是銳角，$\cos \angle ABC=\frac{4}{5}$。

(1) 正確。 餘弦定理：${\overline{AC}}^2=20^2+21^2-2\cdot 20\cdot 21\cdot \frac{4}{5}=841-672=169$，$\overline{AC}=13$。

(2) 正確。 有外接圓時 $\angle D=180^{\circ }-\angle B$，$\cos D=-\frac{4}{5}$。在 $△ACD$ 中設 $\overline{AD}=x$：$169=x^2+25+8x$，$x^2+8x-144=0$，取正根 $x=-4+\sqrt{160}=-4+4\sqrt{10}$。

(3) 錯誤。 先看哪一組對邊平行。若 $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$，$D$ 到 $\overline{BC}$ 的距離要等於 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的距離 $20\cdot \frac{3}{5}=12$，但 $\overline{CD}=5<12$，不可能。所以只能 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$，同側內角互補，$\cos \angle BCD=-\cos \angle ABC=-\frac{4}{5}$，不是 $-\frac{3}{5}$。

(4) 錯誤。 $△ACD$ 中 $\overline{AD}>\overline{AC}-\overline{CD}=8$；等於 $8$ 時 $D$ 落在 $\overline{AC}$ 上，不是凸四邊形。

(5) 正確。 在 $△ABC$ 中 $\cos \angle ACB=\frac{21^2+13^2-20^2}{2\cdot 21\cdot 13}=\frac{5}{13}$。

凸四邊形在 $C$ 的內角 $\angle ACB+\angle ACD<180^{\circ }$，所以 $\cos \angle ACD>-\frac{5}{13}$。

${\overline{AD}}^2=169+25-130\cos \angle ACD<194+50=244$，所以 $\overline{AD}<\sqrt{244}=2\sqrt{61}$。

答案 (1)(2)(5)。

答案 $64$。

① 設 $\overline{AB}=m$，$\overline{AD}=n$，兩個正三角形的邊長分別是 $m$、$n$。

② 看 $A$ 點周圍：$\angle EAF=360^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=150^{\circ }$，$△AEF$ 面積 $=\frac{1}{2}mn\sin 150^{\circ }=\frac{1}{4}mn$。

③ 同理 $\angle EBC=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$，$△BCE$ 兩邊 $m$、$n$，面積也是 $\frac{1}{4}mn$；$△DFC$ 同樣是 $\frac{1}{4}mn$。

④ $△ECF$ 由矩形、兩個正三角形與 $△AEF$ 拼成，再扣掉 $△BCE$、$△DFC$：$b=a+\frac{1}{4}mn-\frac{1}{4}mn-\frac{1}{4}mn=a-\frac{1}{4}mn$。

⑤ 由 $a=b+16$ 得 $\frac{1}{4}mn=16$，矩形面積 $mn=64$。

答案 $64$。

答案 $\frac{65}{6}$。

① 摺疊後 $C$ 落在 $C^{\prime }$，所以摺痕 $\overline{EF}$ 是 $\overline{C{C}^{\prime }}$ 的垂直平分線，$\overline{EF}\perp \overline{C{C}^{\prime }}$。

② $C^{\prime }$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，$\overline{B{C}^{\prime }}=5$，$\overline{BC}=12$，$\angle B=90^{\circ }$，$\overline{C{C}^{\prime }}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。

③ 從 $E$ 作 $\overline{EG}\perp \overline{BC}$ 於 $G$，$\overline{EG}=\overline{AB}=10$。

④ 令 $\angle BC{C}^{\prime }=\theta$。$\overline{EF}\perp \overline{C{C}^{\prime }}$、$\overline{EG}\perp \overline{BC}$，兩組邊各自垂直，所以 $\angle FEG=\theta$。

⑤ 兩個直角三角形：$\cos \theta =\frac{\overline{BC}}{\overline{C{C}^{\prime }}}=\frac{12}{13}$，也等於 $\frac{\overline{EG}}{\overline{EF}}=\frac{10}{\overline{EF}}$。

⑥ 解得 $\overline{EF}=\frac{130}{12}=\frac{65}{6}$。

答案 $\frac{65}{6}$。

答案 $72$。

① 令 $P(1,2,3)$、$Q(3,0,5)$、$R(5,4,1)$，算三段距離：

$$\overline{PQ}=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3},\overline{PR}=\sqrt{16+4+4}=2\sqrt{6},\overline{QR}=\sqrt{4+16+16}=6$$

② 三者的比是 $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，正好是正立方體的「稜、面對角線、體對角線」的比。

③ 正立方體任兩頂點的距離只有 $\ell$、$\sqrt{2}\ell$、$\sqrt{3}\ell$ 三種，所以稜長 $\ell =2\sqrt{3}$。

④ 表面積 $=6{\ell }^2=6\times 12=72$。

答案 $72$。

答案 $\sqrt{26}$。

① 以 $A$ 為起點，令 $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{c}=\overrightarrow{AC}$、$\vec{d}=\overrightarrow{AD}$。正四面體每個面都是正三角形，長度平方都是 $50$，兩兩夾角 $60^{\circ }$，內積都是 $50\cos 60^{\circ }=25$。

② $\overline{AE}:\overline{EB}=2:3$，$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\vec{b}$。

③ $\overline{CF}:\overline{FD}=2:3$，$\overrightarrow{AF}=\frac{3}{5}\vec{c}+\frac{2}{5}\vec{d}$。

④ $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{5}\left(3\vec{c}+2\vec{d}-2\vec{b}\right)$。

⑤ 平方：$25{\left|\overrightarrow{EF}\right|}^2=(9+4+4)\times 50+2\times (3\cdot 2-3\cdot 2-2\cdot 2)\times 25=850-200=650$。

⑥ ${\left|\overrightarrow{EF}\right|}^2=26$，$\overline{EF}=\sqrt{26}$。

答案 $\sqrt{26}$。

答案 $-26$。

① $E_1$、$E_2$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=(3,-4,-1)$、$\overrightarrow{n_2}=(1,-2,-5)$，交線 $L$ 同時垂直兩個法向量。

② $L$ 的方向向量取外積：$\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=(18,14,-2)=2(9,7,-1)$。

③ 平面 $E$ 與 $L$ 垂直，$E$ 的法向量 $(a,b,1)$ 與 $(9,7,-1)$ 平行，比較第三分量得 $(a,b,1)=-(9,7,-1)$，所以 $a=-9$，$b=-7$。

④ $E:-9x-7y+z=c$ 過 $(-1,3,2)$：$c=9-21+2=-10$。

⑤ $a+b+c=-9-7-10=-26$。

答案 $-26$。

答案 $70$。

① 每 $3.5$ 小時變為 $2.4$ 倍，$t$ 小時後是 $1000\times 2.4^{\frac{t}{3.5}}$ 隻。

② 列式：$1000\times 2.4^{\frac{t}{3.5}}=4\times 10^{10}$，即 $2.4^{\frac{t}{3.5}}=4\times 10^7$。

③ 取對數：$\frac{t}{3.5}\log 2.4=7+\log 4$。

④ $\log 2.4=\log \frac{2^3\times 3}{10}=3\log 2+\log 3-1\approx 0.3801$；$\log 4=2\log 2\approx 0.6020$。

⑤ $\frac{t}{3.5}\approx \frac{7.6020}{0.3801}\approx 20.0$，$t\approx 20\times 3.5=70$。

答案 $70$。

答案 $2x+2y+z=6$。

① 正四面體稜長 $=\overline{OA}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$。

② 設 $B(x,y,0)$。由 $\overline{OB}=\sqrt{6}$：$x^2+y^2=6$。

③ 由 $\overline{AB}=\sqrt{6}$：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+4=6$，展開後代入 ② 得 $6-2x-2y+6=6$，即 $x+y=3$。

④ $C$ 也滿足同樣兩個條件，所以 $B$、$C$ 都在 $xy$ 平面上的直線 $x+y=3$（$z=0$）上。

⑤ 平面 $ABC$ 含這條直線，可設為 $x+y+kz=3$；代入 $A(1,1,2)$：$2+2k=3$，$k=\frac{1}{2}$。

⑥ 化成整數係數：$2x+2y+z=6$。

答案 $2x+2y+z=6$。

答案 $5$。

① 令 $3\sin x=2\sin 2x=4\sin x\cos x$，移項：$\sin x(4\cos x-3)=0$。

② $\sin x=0$：$x=0$、$\pi$、$2\pi$，共 $3$ 個。

③ $\cos x=\frac{3}{4}$：在 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 與 $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ 各有 $1$ 個，共 $2$ 個。

④ 兩組不重複（$\cos x=\frac{3}{4}$ 時 $\sin x\ne 0$），合計 $5$ 個交點。

答案 $5$。

答案 $\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$。

① $A$、$B$ 在 $y={\log }_{2}x$ 上：$r={\log }_{2}a$，$s={\log }_{2}b$。

② 斜率 $2$：${\log }_{2}b-{\log }_{2}a=2(b-a)$。

③ 長度 $\sqrt{5}$：$(b-a{)}^2+({\log }_{2}b-{\log }_{2}a{)}^2=5$，代入 ② 得 $5(b-a{)}^2=5$。

④ $a<b$，所以 $b-a=1$；代回 ② 得 ${\log }_2\frac{b}{a}=2$，$b=4a$。

⑤ 聯立 $b-a=1$、$b=4a$：$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{4}{3}$。

答案 $\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$。

答案 $(1,-2,1)$。

① $\vec{u}\times \vec{v}=(2\cdot (-1)-3\cdot 0,3\cdot 1-1\cdot (-1),1\cdot 0-2\cdot 1)=(-2,4,-2)$。

② $\vec{w}$ 與它平行，可設 $\vec{w}=t(1,-2,1)=(t,-2t,t)$。

③ 三階行列式的值等於 $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})$（第三列與前兩列外積的內積）。

④ $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=t(-2)+(-2t)(4)+t(-2)=-12t=-12$，$t=1$。

⑤ $\vec{w}=(1,-2,1)$。

答案 $(1,-2,1)$。

答案 $A=B=\log (1+r)$。

① 由對數律，$\log P_n=\log \left(P_0(1+r{)}^n\right)=\log P_0+n\log (1+r)$。

② $A=\frac{\left(\log P_0+5\log (1+r)\right)-\left(\log P_0+2\log (1+r)\right)}{3}=\frac{3\log (1+r)}{3}=\log (1+r)$。

③ $B=\frac{\left(\log P_0+8\log (1+r)\right)-\left(\log P_0+6\log (1+r)\right)}{2}=\frac{2\log (1+r)}{2}=\log (1+r)$。

④ 所以 $A=B$。

所以 $A=B=\log (1+r)$。

答案 $\sqrt{10}$。

① 每隔 $16$ 天變為 $10$ 倍：$P_{16}=10P_0$，即 $(1+r{)}^{16}=10$。

② $\frac{P_m}{P_k}=(1+r{)}^{m-k}$，三個比值分別是 $(1+r{)}^3$、$(1+r{)}^2$、$(1+r{)}^3$。

③ 連乘：$(1+r{)}^{3+2+3}=(1+r{)}^8={\left((1+r{)}^{16}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}$。

答案 $\sqrt{10}$。

答案 $\frac{1}{16}$。

① 同 (1) 的算法：$\frac{\log P_{20}-\log P_{17}}{3}=\frac{3\log (1+r)}{3}=\log (1+r)$。

② 由 (2)，$1+r=10^{\frac{1}{16}}$。

③ $\log (1+r)=\log 10^{\frac{1}{16}}=\frac{1}{16}$。

答案 $\frac{1}{16}$。