南山高中 110 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 設一開始有 $a$ 個細菌，每過 $1$ 日變成 $3$ 倍，$t$ 日後有 $a\cdot 3^t$ 個。

② $10$ 日後：$a\cdot 3^{10}=N$。

③ $k$ 日後：$a\cdot 3^k=\frac{N}{9}=\frac{a\cdot 3^{10}}{3^2}=a\cdot 3^8$，所以 $3^k=3^8$。

答案 (3)，$k=8$。

① $P(4,-3)$ 到原點的距離 $r=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$（見圖）。

② 廣義角的正弦：$\sin \theta =\frac{y}{r}=\frac{-3}{5}$。

答案 (4)。

① 以 $\overline{AB}$ 為底時，高是 $D$ 到直線 $AB$ 的距離 $\overline{DH}$（見圖）。

② 直角三角形 $ADH$ 中，$\overline{DH}=\overline{AD}\sin A=8\sin 40^{\circ }$。

答案 (3)。

① $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}$，所以 $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}=0$，即 $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{b}=0$。

② 展開：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=0$，得 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-4$。

③ 設夾角為 $\theta$：$\cos \theta =\frac{-4}{4\times 2}=-\frac{1}{2}$，$\theta =120^{\circ }$。

答案 (5)。

① 先算兩個基本的內積（見圖）。由餘弦定理：

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{{\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-{\overline{BC}}^2}{2}=\frac{4+16-9}{2}=\frac{11}{2}$$

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{{\overline{BA}}^2+{\overline{BC}}^2-{\overline{AC}}^2}{2}=\frac{4+9-16}{2}=-\frac{3}{2}$$

② (1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}={\overline{AB}}^2=4$。

③ (2) $\frac{11}{2}$。

④ (3) $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$，所以等於 $-\frac{11}{2}$。

⑤ (4) $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$。

⑥ (5) $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$。

最大的是 $\frac{11}{2}$，答案 (2)。

由圖：$f$ 的定義域是 $9x+1>0$，即 $x>-\frac{1}{9}$；兩圖形只交於 $x=0$ 與 $x=1$。

所以 $0<x<1$ 時 $f(x)>x$；$-\frac{1}{9}<x<0$ 或 $x>1$ 時 $f(x)<x$（見圖）。

(1) 錯誤。 $f(-0.1)=\log 0.1=-1<-0.1$。

(2) 正確。 $0.5$ 在 $0$ 與 $1$ 之間，所以 $f(0.5)>0.5$（實際上 $f(0.5)=\log 5.5$，比 $\log \sqrt{10}=0.5$ 大）。

(3) 正確。 $\pi >1$，所以 $f(\pi )<\pi$。

(4) 正確。 $x=-1$ 不在定義域內（$-1<-\frac{1}{9}$），圖形與直線 $x=-1$ 不相交。

(5) 錯誤。 方程式的解就是 $y=f(x)$ 與 $y=x+2$ 的交點。

$x\le 0$ 或 $x\ge 1$ 時 $f(x)\le x<x+2$；$0<x<1$ 時 $f(x)<f(1)=1<2<x+2$。兩圖形不相交，沒有實數解。

答案 (2)(3)(4)。

① 極坐標 $[r,\theta ]$ 中 $r$ 是到極點的距離，所以 $\overline{OA}=2$，$\overline{OB}=3$；$\angle AOB=\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$（見圖）。

(1) 正確。 $\overline{OB}=3$。

(2) 正確。 $\angle AOB=120^{\circ }>100^{\circ }$。

(3) 正確。 餘弦定理：${\overline{AB}}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos 120^{\circ }=13+6=19$，$\overline{AB}=\sqrt{19}$。

(4) 正確。 正弦定理：$2R=\frac{\overline{AB}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，所以 $R=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{57}}{3}$。

(5) 錯誤。 用面積：$△OAB=△OAC+△OCB$，$\angle AOC=\angle COB=60^{\circ }$。

$$\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \overline{OC}\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \overline{OC}\sin 60^{\circ }$$

兩邊消去 $\frac{\sqrt{3}}{4}$：$6=5\overline{OC}$，$\overline{OC}=\frac{6}{5}$，不是 $\frac{5}{6}$。

答案 (1)(2)(3)(4)。

① 最大值 $2$、最小值 $-4$：振幅 $|a|=\frac{2-(-4)}{2}=3$，中線 $c=\frac{2+(-4)}{2}=-1$。所以 (2) 的 $a=4$ 與 (5) 的 $c=3$ 都錯誤。

② 依一般的看法，把 $P$、$Q$ 當成相鄰的最高點與最低點：兩者橫坐標差 $8-4=4$ 是半個週期，週期 $8$。

③ $f$ 的週期是 $\frac{2\pi }{b\pi }=\frac{2}{b}$，由 $\frac{2}{b}=8$ 得 $b=\frac{1}{4}$，所以 (3) 錯誤、(4) 正確；題目沒說 $a>0$，$a=-3$ 也符合振幅 $3$；照一般取 $a>0$ 時 $a=3$，(1) 正確。學校答案是 (1)(4)。

④ 但嚴格來說題目的條件互相矛盾：若 $x=4$ 是最高點，$\sin 4b\pi =\pm 1$，即 $4b\pi =\frac{\pi }{2}+m\pi$（$m$ 為整數）。此時 $8b\pi =\pi +2m\pi$，$\sin 8b\pi =0$，$f(8)=c$，不可能是最低點。

⑤ 例如照學校答案取 $a=3$、$b=\frac{1}{4}$、$c=-1$：$f(4)=3\sin \pi -1=-1$，不是 $2$（見圖：這個函數的最高點在 $x=2$、最低點在 $x=6$）。

答案照學校公布的 (1)(4)。

① $\log \frac{4}{5}=2\log 2-\log 5$。

② $\sqrt[5]{256}=2^{\frac{8}{5}}$，所以 $\frac{5}{4}\log \sqrt[5]{256}=\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{5}\log 2=2\log 2$。

③ $\sqrt{125}=5^{\frac{3}{2}}$，所以 $\frac{2}{3}\log \sqrt{125}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\log 5=\log 5$。

④ 原式 $=(2\log 2-\log 5)-2\log 2+\log 5=0$。

答案 0。

① 改寫成 $y={\log }_3(x+a)-b$：它是 $y={\log }_{3}x$ 向左平移 $a$、向下平移 $b$。

② 圖中鉛直漸近線是 $x=-3$，而 $y={\log }_3(x+a)$ 的漸近線是 $x=-a$，所以 $a=3$。

③ 圖形通過 $(0,-1)$：$-1+b={\log }_3(0+3)=1$，所以 $b=2$。

答案 (3, 2)。

① 兩函數都要有意義，$k>0$。$A(k,{\log }_{2}k)$、$B(k,{\log }_2(k+3))$，且 ${\log }_2(k+3)>{\log }_{2}k$（見圖）。

② $\overline{AB}={\log }_2(k+3)-{\log }_{2}k={\log }_2\frac{k+3}{k}=3$。

③ $\frac{k+3}{k}=8$，$k+3=8k$，$k=\frac{3}{7}$。

答案 $\frac{3}{7}$。

① 設 $t={\log }_{a}b$，則 ${\log }_{b}a=\frac{1}{t}$，條件變成 $t+\frac{2}{t}=3$。

② $t^2-3t+2=0$，$(t-1)(t-2)=0$，$t=1$ 或 $2$。

③ $t=1$ 表示 $b=a$，與「相異」不合，所以 $t=2$，$b=a^2$。

④ $ab=a^3=64$，$a=4$，$b=16$。

答案 20。

① $\tan \theta >0$ 且 $\sin \theta <0$，所以 $\theta$ 是第三象限角。

② 在終邊上取點 $(-15,-8)$（$\frac{-8}{-15}=\frac{8}{15}$），到原點距離 $\sqrt{15^2+8^2}=17$（見圖）。

③ $\cos \theta =\frac{-15}{17}$。

答案 $-\frac{15}{17}$。

① 圓內接四邊形對角互補：$\angle C=180^{\circ }-\angle A$，所以 $\cos C=-\cos A$（見圖）。

② 在 $△ABD$ 與 $△CBD$ 各用一次餘弦定理：

$${\overline{BD}}^2=1^2+4^2-2\cdot 1\cdot 4\cos A=17-8\cos A$$

$${\overline{BD}}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos C=13+12\cos A$$

③ $17-8\cos A=13+12\cos A$，$\cos A=\frac{1}{5}$。

④ ${\overline{BD}}^2=17-\frac{8}{5}=\frac{77}{5}$。

答案 $\sqrt{\frac{77}{5}}$。

① 面積公式：$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\sin A=\frac{15\sqrt{15}}{2}$，得 $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

② $\angle A$ 為鈍角，$\cos A=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}$（見圖）。

③ 餘弦定理：${\overline{BC}}^2=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=136+30=166$。

答案 $\sqrt{166}$。

① 北 $60^{\circ }$ 東與正東方相差 $30^{\circ }$，所以 $\angle BAC=30^{\circ }$（見圖）。

② 在 $C$ 點，$\overrightarrow{CB}$ 與正東方相差 $90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$，所以 $\angle ACB=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$。

③ $\angle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }$。

④ 正弦定理：$\frac{\overline{BC}}{\sin 30^{\circ }}=\frac{\overline{AC}}{\sin 45^{\circ }}$，$\overline{BC}=\frac{200\times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=100\sqrt{2}$。

答案 $100\sqrt{2}$ 公尺。

① $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u}$：$2a+b=0$，$b=-2a$。

② $\left|\overrightarrow{v}\right|=2\left|\overrightarrow{u}\right|=2\sqrt{5}$：$a^2+b^2=20$，即 $5a^2=20$，$a=\pm 2$。

③ $a=2$ 時 $b=-4$，滿足 $a>b$；$a=-2$ 時 $b=4$，不合（見圖）。

答案 2。

① 設 $P(0,y)$。$\overrightarrow{AB}=(2,-1)$，$\overrightarrow{AP}=(-1,y)$。

② $\angle BAP=90^{\circ }$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=0$：$-2-y=0$，$y=-2$（見圖）。

答案 $-2$。

① $M$ 是 $\overline{BC}$ 中點，且 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，所以 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

② $P$ 在 $\overline{DM}$ 上且 $\overline{DP}:\overline{PM}=2:3$（見圖），由分點公式：

$$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}$$

③ 代入：$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AD}$。

答案 $\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)$。

① 每年減少前一年的 $4\%$，就是每年變成前一年的 $96\%=0.96$ 倍。

② 經 $n$ 年後：$1000\times 0.96^n$（萬人）。

答案 $1000\times 0.96^n$ 萬人。

① 要求 $1000\times 0.96^n<500$，即 $0.96^n<\frac{1}{2}$。

② 兩邊取常用對數：$n\log 0.96<\log \frac{1}{2}=-\log 2\approx -0.3010$。

③ $\log 0.96=\log \frac{96}{100}=\log \left(2^5\times 3\right)-2=5\log 2+\log 3-2\approx -0.0179$。

④ $\log 0.96$ 是負數，除過去不等號反向：$n>\frac{0.3010}{0.0179}\approx 16.8$。

答案 17 年。