段考詳解範圍：整數的運算（正負數與數線、相反數與絕對值、整數的加減、整數的乘除與四則運算、指數記法、科學記號）

正義高中 115 上
國一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

選擇題 14 題（每題 3 分，共 42 分）、填充題 12 題（每題 4 分，共 48 分）、計算題 2 題（每題 5 分，共 10 分），合計 100 分。本頁第 15～26 題是填充題 1～12，第 27～28 題是計算題 1～2。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、選擇題（每題 3 分，共 42 分）

下列敘述何者正確？

(A) 最小的正整數為 $0$
(B) 最小的負整數為 $- 1$
(C) 最小的正整數為 $1$
(D) 最大的負數為 $- 1$

下列有關絕對值的敘述，何者錯誤？

(A) 所有數絕對值都是正數或 $0$
(B) $5 > - 7$ ，所以 $∣5∣ > ∣ - 7 ∣$
(C) 兩相反數的絕對值相等
(D) 絕對值越大，距離原點越遠

A (a)

、

B (b)

、

P (a + b)

三點在數線上的位置如附圖所示。若要在數線上標示點

Q (b - a)

，則關於

Q

點的位置，下列敘述何者正確？

(A) 在 $B$ 的右邊
(B) 介於 $A$ 、 $B$ 之間
(C) 介於 $P$ 、 $A$ 之間
(D) 在 $P$ 的左邊

載入中...

若

a

的相反數可以記為「

- a

」，那麼下列哪一個式子不一定是正確的？

(A) $∣ - a ∣ = ∣ a ∣$
(B) $∣ - a ∣ = a$
(C) $- (- a) = a$
(D) 當 $a < 0$ 時， $- a > 0$

已知數線上兩點

A (- 18)

、

B (12)

。若有

5

個等分點將

\overline{A B}

分成

6

等分，則這

5

個等分點所表示的數的總和為多少？

(A) $- 10$
(B) $- 12$
(C) $- 15$
(D) $- 18$

(- 9) + 16 + (- 12)

的運算結果與下列哪一選項的運算結果不同？

(A) $[(- 9) + (- 12)] + 16$
(B) $16 + [(- 9) + (- 12)]$
(C) $(16 - 9) + (- 12)$
(D) $- (9 - 12) + 16$

附圖表示數線上四個點的位置關係，且它們表示的數分別為

p

、

q

、

r

、

s

。若

∣ p - r ∣ = 10

，

∣ p - s ∣ = 12

，

∣ q - s ∣ = 9

，則

∣ q - r ∣ =

？

(A) $7$
(B) $9$
(C) $11$
(D) $13$

載入中...

若

c < b < a < 0

，則

∣ c - a ∣ - ∣ b - a ∣ - ∣ a - b - c ∣ =

？

(A) $2 a$
(B) $2 a + b$
(C) $2 b - a$
(D) $b - c$

某海洋的表面溫度是

2 2^{\circ} C

，若該海洋水深每增加

1

km 水溫便會降低

3^{\circ} C

，則下列哪一個式子的計算值可以表示水深

4

km 處的溫度？

(A) $(- 3) \times (- 4)$
(B) $(- 3) \times 4$
(C) $22 - (- 3) \times 4$
(D) $22 + (- 3) \times 4$

若

b \neq = 0

，

c \neq = 0

，則

a \div (- b) \div (- c)

的值與下列何者相同？

(A) $a \times (b \div c)$
(B) $a \div (b \times c)$
(C) $a \div (b + c)$
(D) $a \div [(- b) \div (- c)]$

已知

a \times b > 0

，則下列敘述何者正確？

(A) 若 $c > 0$ ，則 $a \times c$ 必大於 $0$
(B) 若 $c < 0$ ，則 $b \times c$ 必大於 $0$
(C) 若 $a \times c > 0$ ，則 $b \times c$ 必大於 $0$
(D) 若 $b \times c < 0$ ，則 $a \times c$ 必大於 $0$

下列敘述何者錯誤？

(A) $- 2^{4} = - (2 \times 2 \times 2 \times 2)$
(B) $(- 2)^{4} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2)$
(C) $- 2^{5} = (- 2)^{5}$
(D) $- 2^{6} = (- 2)^{6}$

設

a

、

b

、

c

是正整數，則下列哪一個數一定是負數？

(A) $(- a) \times (- b) \times (- c)^{2}$
(B) $(- a) \div (- b) \div (- c)^{2}$
(C) $(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{2}$
(D) $(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{3}$

若

a = 3.24 \times 1 0^{- 8}

、

b = 7.48 \times 1 0^{- 9}

、

c = 1.2 \times 1 0^{- 9}

，試比較

a

、

b

、

c

的大小？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $c > b > a$

二、填充題（每題 4 分，共 48 分）請計算出完整數字並化到最簡，否則不予計分！

絕對值大於

3.8

且小於

7.6

的整數共有 ____ 個。

若要畫出

4 \frac{3}{8}

的點，則至少要在

4

和

5

之間作 ____ 個等分點。

若以上午

10 : 00

為基準，下午

1 : 00

表示為

- 9

，則上午

4 : 00

可表示為 ____。

數線上有兩點

A

、

B

，若

A

點坐標為

- 5

，

A

、

B

的中點坐標為

- 2

，則

B

點坐標為 ____。

計算

123 - 321 =

____。

計算

(- 82) + {(- 38) - [(- 33) - ∣ - 19 ∣]} =

____。

計算

23497 \times (- 2) \times 0 \times (- 378) =

____。

計算

- 98765 \times 1234 + 98765 \times 11234 =

____。

計算

4 \times (- 3)^{2} - (- 2)^{4} \times 5 \div (- 4^{2}) =

____。

若

(- 54) \div 6 \div (- 3) = a

，

(- 3) \times 6 \times 12 = b

，則

\frac{b}{a} =

____。

已知

119 \times 21 = 2499

，則

119 \times 2 1^{3} - 2497 \times 2 1^{2} =

____。

將數以科學記號表示：

\frac{1}{250000} =

____。

三、計算題（每題 5 分，共 10 分）請寫出詳細計算過程於答案卷上，否則不予計分！

在地面上畫一條數線後，甲、乙兩人分別站在

- 9

與

5

的位置開始猜拳比賽，每次贏的人向右走

3

個單位長，輸的人則向左走

4

個單位長，經過了

6

次有輸贏（不計平手次數）的猜拳後兩人相遇，試問這

6

次猜拳中甲贏了幾次？（

5

分）

瑋瑋爸爸為了獎勵瑋瑋認真求學的態度，決定實施為期

7

天的獎勵計畫，並提出兩種方案讓冠麟選擇：甲方案：第一天給

1

元，第二天起每天都給前一天的兩倍，直到第

7

天為止。乙方案：每天給

20

元，持續

7

天。 (1) 你可以幫冠麟選擇一個得到獎勵金最高的方案嗎？（

3

分） (2) 請計算出兩個方案的獎勵金相差多少元？（

2

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(D)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(D)

第 10 題(B)

第 11 題(C)

第 12 題(D)

第 13 題(D)

第 14 題(A)

第 15 題

8

第 16 題

7

第 17 題

+ 18

第 18 題

1

第 19 題

- 198

第 20 題

- 68

第 21 題

0

第 22 題

987650000

第 23 題

41

第 24 題

- 72

第 25 題

882

第 26 題

4 \times 1 0^{- 6}

第 27 題

4

次

第 28 題(1) 乙方案　(2)

13

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1～5：正負數、絕對值、數線上的位置與等分點

第 1 題答案 (C)。(A) 錯誤：

0

不是正數，最小的正整數是

1

。(B) 錯誤：負整數

- 1

、

- 2

、

- 3

、… 一直往左延伸，沒有最小的；

- 1

是最大的負整數。(C) 正確。(D) 錯誤：

- 0.5

比

- 1

大，而且還有更接近

0

的負數，所以沒有最大的負數。

「最大的負整數」是

- 1

，但「最大的負數」不存在，差在有沒有「整」字。

第 2 題答案 (B)。(A) 正確：絕對值是到原點的距離，不會是負數；只有

0

的絕對值是

0

。(B) 錯誤：

∣5∣ = 5

，

∣ - 7 ∣ = 7

，所以

∣5∣ < ∣ - 7 ∣

；數本身比較大，絕對值不一定比較大。(C) 正確：相反數在原點兩側、與原點距離相同。(D) 正確：絕對值就是與原點的距離。題目問錯誤的，選 (B)。

負數比大小時，絕對值愈大的負數反而愈小。

第 3 題答案 (A)。由圖，

P

在

A

的左邊，表示

a + b

比

a

小，也就是

a

加上

b

之後變小了，所以

b

是負數。

B

在

A

的右邊，所以

a < b

，而

b

是負數，所以

a

也是負數。

b

在

a

的右邊，

b - a

就是

A

到

B

的距離，是正數。

Q

表示正數，而

B

表示負數，所以

Q

在

B

的右邊。

舉例檢查：

a = - 5

、

b = - 2

，則

a + b = - 7

，順序

P

、

A

、

B

與圖相同；

b - a = 3

，在

b = - 2

的右邊。

第 4 題答案 (B)。(A) 一定正確：

- a

與

a

互為相反數，與原點的距離相同。(B) 不一定正確：當

a

是負數，例如

a = - 3

，

∣ - a ∣ = ∣3∣ = 3

，不等於

a = - 3

。(C) 一定正確：

a

的相反數的相反數就是

a

。(D) 一定正確：負數的相反數是正數。題目問不一定正確的，選 (B)。

∣ - a ∣ = a

只有在

a \geq 0

時才成立。

第 5 題答案 (C)。

\overline{A B}

長

12 - (- 18) = 30

，分成

6

等分，每一等分長

30 \div 6 = 5

。從

A

開始每次加

5

：

5

個等分點是

- 13

、

- 8

、

- 3

、

2

、

7

。總和

= (- 13) + (- 8) + (- 3) + 2 + 7 = - 15

。

中間那一個

- 3

是

\overline{A B}

的中點；左右成對的

- 13

與

7

、

- 8

與

2

的和都是

- 6

，總和也可以算成

- 3 \times 5 = - 15

。

由數線上的左右位置判斷大小，再由「加上一個數後變大或變小」判斷那個數的正負。

02選擇 6～10：加減的運算規律、數線上的距離、去絕對值與乘除

第 6 題答案 (D)。原式

= 7 + (- 12) = - 5

。(A)

(- 21) + 16 = - 5

。(B)

16 + (- 21) = - 5

。(C)

7 + (- 12) = - 5

。(D)

9 - 12 = - 3

，

- (- 3) = 3

，

3 + 16 = 19

，與原式不同。

(A)(B)(C) 都只是交換相加的順序或先把某兩個數結合，結果不變；(D) 的

- (9 - 12)

其實是

- 9 + 12

，把

- 12

變成了

+ 12

。

第 7 題答案 (A)。由圖，四點由左到右是

p

、

q

、

r

、

s

。

∣ p - r ∣ = 10

是

p

到

r

的距離，

∣ p - s ∣ = 12

是

p

到

s

的距離，所以

r

到

s

的距離是

12 - 10 = 2

。

∣ q - s ∣ = 9

是

q

到

s

的距離，

r

在

q

、

s

之間，所以

q

到

r

的距離是

9 - 2 = 7

，即

∣ q - r ∣ = 7

。

兩數相減的絕對值，就是數線上兩點的距離。

第 8 題答案 (C)。

c < a

，

c - a

是負數，

∣ c - a ∣ = a - c

。

b < a

，

b - a

是負數，

∣ b - a ∣ = a - b

。

a - b

是正數，

c

是負數所以

- c

是正數，

a - b - c = (a - b) + (- c)

是正數，

∣ a - b - c ∣ = a - b - c

。原式

= (a - c) - (a - b) - (a - b - c) = a - c - a + b - a + b + c = 2 b - a

。

舉例檢查：

c = - 5

、

b = - 3

、

a = - 1

，原式

= 4 - 2 - 7 = - 5

，而

2 b - a = - 6 + 1 = - 5

。

第 9 題答案 (D)。水深每增加

1

km 水溫降低

3^{\circ} C

，降低記為

- 3

。水深

4

km 共變化

(- 3) \times 4 = - 12

，溫度是

22 + (- 3) \times 4 = 22 - 12 = 10 (^{\circ} C)

。(A)(B) 沒有加上表面溫度

22

；(C) 的值是

22 - (- 12) = 34

，變成升溫了。

「降低」用負數表示，再加到原來的溫度上。

第 10 題答案 (B)。由左而右，先除以

- b

再除以

- c

，等於除以兩數的乘積

(- b) \times (- c) = b \times c

，所以

a \div (- b) \div (- c) = a \div (b \times c)

。用

a = 36

、

b = 6

、

c = 3

檢查：原式

36 \div (- 6) \div (- 3) = (- 6) \div (- 3) = 2

。(A)

36 \times (6 \div 3) = 72

；(B)

36 \div (6 \times 3) = 36 \div 18 = 2

，相同；(C)

36 \div (6 + 3) = 4

；(D)

(- 6) \div (- 3) = 2

，

36 \div 2 = 18

。只有 (B) 與原式相同。

連續除以兩個數，等於除以這兩個數的乘積，不是除以它們的商。

去絕對值前，先判斷裡面的數是正是負：正數照抄，負數加負號變成相反數。

03選擇 11～14：乘積的正負、指數與科學記號比大小

第 11 題答案 (C)。

a \times b > 0

，表示

a

、

b

同號（同正或同負）。(A) 錯誤：

a

可能是負數，例如

a = - 1

、

b = - 1

、

c = 2

，

a \times c = - 2 < 0

。(B) 錯誤：

b

可能是正數，例如

a = b = 1

、

c = - 2

，

b \times c = - 2 < 0

。(C) 正確：

a \times c > 0

表示

a

、

c

同號，又

a

、

b

同號，所以

b

、

c

同號，

b \times c > 0

。(D) 錯誤：

b \times c < 0

表示

b

、

c

異號，

a

與

b

同號，所以

a

、

c

異號，

a \times c < 0

。

兩數相乘：同號得正、異號得負。

第 12 題答案 (D)。(A) 正確：

- 2^{4}

的指數只掛在

2

上。(B) 正確：

(- 2)^{4}

是

4

個

- 2

相乘。(C) 正確：

- 2^{5} = - 32

，

(- 2)^{5}

是奇數個負數相乘，也是

- 32

。(D) 錯誤：

- 2^{6} = - 64

，

(- 2)^{6}

是偶數個負數相乘，等於

64

。題目問錯誤的，選 (D)。

指數是奇數時

- 2^{n}

與

(- 2)^{n}

相等，是偶數時兩者互為相反數。

第 13 題答案 (D)。

a

、

b

、

c

是正整數，

- a

、

- b

、

- c

都是負數。負數的奇數次方是負數，偶數次方是正數。(A) 負

\times

負

\times

正，是正數。(B) 負

\div

負

\div

正，是正數。(C)

(- a)^{3}

負、

(- b)^{5}

負、

(- c)^{2}

正，乘積是正數。(D)

(- a)^{3}

、

(- b)^{5}

、

(- c)^{3}

都是負數，三個負數相乘是負數。

數一數總共有幾個負號因數：

(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{3}

共

3 + 5 + 3 = 11

個

- 1

，奇數個，所以是負數。

第 14 題答案 (A)。化成小數：

a = 3.24 \times 1 0^{- 8}

是把

3.24

的小數點向左移

8

位，得

0.0000000324

；

b = 7.48 \times 1 0^{- 9}

向左移

9

位，得

0.00000000748

；

c = 1.2 \times 1 0^{- 9}

向左移

9

位，得

0.0000000012

。逐位比較，

a

在小數點後第

8

位就出現

3

，

b

、

c

的前

8

位都是

0

，所以

a

最大；

b

、

c

第

9

位分別是

7

與

1

，

b > c

。所以

a > b > c

。

10

的次方不同時，先比次方：

1 0^{- 8}

比

1 0^{- 9}

大，所以

a

最大；次方相同再比前面的數，

7.48 > 1.2

。

判斷乘積的正負，只要數負數因數有幾個：奇數個是負，偶數個是正。

04填充 1～6（第 15～20 題）：絕對值、數線與加減

第 15 題絕對值大於

3.8

且小於

7.6

的正整數是

4

、

5

、

6

、

7

，共

4

個；負整數是

- 4

、

- 5

、

- 6

、

- 7

，也是

4

個。共

8

個。

絕對值相同的數有一正一負兩個，不要漏掉負整數。

第 16 題

4 \frac{3}{8}

在

4

和

5

之間，要把這一段分成

8

等分，從

4

往右數第

3

小格的位置就是

4 \frac{3}{8}

。分成

8

等分需要在中間作

8 - 1 = 7

個等分點。

分成幾等分，等分點就比等分數少

1

（兩個端點

4

、

5

不算）。

第 17 題下午

1 : 00

比上午

10 : 00

晚

3

小時，記為

- 9

，所以每晚

1

小時記

- 9 \div 3 = - 3

，也就是每早

1

小時記

+ 3

。上午

4 : 00

比上午

10 : 00

早

6

小時，記為

(+ 3) \times 6 = + 18

。

這題是「較晚」記負、「較早」記正，和一般習慣相反，要由已知的記錄決定方向。

第 18 題

A

到中點的距離是

- 2 - (- 5) = 3

，中點在

A

的右邊。

B

在中點右邊再距離

3

：

B

的坐標是

- 2 + 3 = 1

。

檢查：

- 5

與

1

的中點是

- 5 + (1 - (- 5)) \div 2 = - 5 + 3 = - 2

。

第 19 題

123 - 321

：減數比被減數大，結果是負數，

321 - 123 = 198

，所以

123 - 321 = - 198

。

a - b

與

b - a

互為相反數。

第 20 題由內而外。

∣ - 19 ∣ = 19

。中括號：

(- 33) - 19 = - 52

。大括號：

(- 38) - (- 52) = - 38 + 52 = 14

。原式

= (- 82) + 14 = - 68

。

減去

- 52

等於加上

52

。

多層括號由內而外算，每一步減去一個數就改成加上它的相反數。

05填充 7～12（第 21～26 題）：乘除、分配律、指數與科學記號

第 21 題連乘的因數中有

0

，任何數乘以

0

都是

0

，所以結果是

0

。

不必先算

23497 \times (- 2)

。

第 22 題兩項都有

98765

，用分配律：原式

= 98765 \times (- 1234 + 11234) = 98765 \times 10000 = 987650000

。

- 1234 + 11234 = 10000

，乘以

10000

就是在後面補

4

個

0

。

第 23 題先算次方：

(- 3)^{2} = 9

，

(- 2)^{4} = 16

，

- 4^{2} = - 16

（指數只掛在

4

上）。再算乘除：

4 \times 9 = 36

；

16 \times 5 = 80

，

80 \div (- 16) = - 5

。最後

36 - (- 5) = 36 + 5 = 41

。

(- 2)^{4} \times 5 \div (- 4^{2})

要由左而右，先乘再除。

第 24 題

a = (- 54) \div 6 \div (- 3) = (- 9) \div (- 3) = 3

。

b = (- 3) \times 6 \times 12 = (- 18) \times 12 = - 216

。

\frac{b}{a} = b \div a = (- 216) \div 3 = - 72

。

\frac{b}{a}

就是

b \div a

；異號相除得負。

第 25 題

2 1^{3} = 21 \times 2 1^{2}

，所以

119 \times 2 1^{3} = (119 \times 21) \times 2 1^{2} = 2499 \times 2 1^{2}

。原式

= 2499 \times 2 1^{2} - 2497 \times 2 1^{2} = (2499 - 2497) \times 2 1^{2} = 2 \times 441 = 882

。

把

2 1^{3}

拆成

21 \times 2 1^{2}

，就能用上已知的

119 \times 21 = 2499

，再用分配律提出

2 1^{2}

。

第 26 題

\frac{1}{250000} = \frac{4}{1000000} = 0.000004

。

0.000004

是把

4

的小數點向左移

6

位得到的，所以

0.000004 = 4 \times 1 0^{- 6}

。

分子分母同乘

4

，分母變成

1000000

，就容易化成小數。檢查：

4 \times 1 0^{- 6}

是小數點後第

6

位為

4

。

看到相同的因數就想分配律，把它提出來再算，可以省下大量計算。

06計算題 1～2（第 27～28 題）：猜拳相遇、兩種獎勵方案

第 27 題

開始時的距離。 甲在 $- 9$ 、乙在 $5$ ，乙在甲的右邊，距離 $5 - (- 9) = 14$ 個單位長。

每一次猜拳距離怎麼變。 甲贏時，甲向右走 $3$ 、乙向左走 $4$ ，兩人互相靠近 $3 + 4 = 7$ 。乙贏時，甲向左走 $4$ 、乙向右走 $3$ ，兩人互相遠離 $7$ 。

相遇的條件。 兩人要相遇，距離要減少 $14$ ，也就是甲贏的次數要比乙贏的次數多 $14 \div 7 = 2$ 次。共 $6$ 次有輸贏，兩人贏的次數加起來是 $6$ 、相差 $2$ ，甲贏 $(6 + 2) \div 2 = 4$ 次，乙贏 $(6 - 2) \div 2 = 2$ 次。

檢查。 甲： $- 9 + 3 \times 4 + (- 4) \times 2 = - 9 + 12 - 8 = - 5$ 。乙： $5 + 3 \times 2 + (- 4) \times 4 = 5 + 6 - 16 = - 5$ 。兩人都在 $- 5$ ，確實相遇。

答：甲贏了 $4$ 次。

也可以逐一試：甲贏

0

～

6

次時，

6

次後兩人的距離依序是

56

、

42

、

28

、

14

、

0

、

14

、

28

，只有甲贏

4

次時距離是

0

。

第 28 題

甲方案。 第一天 $1$ 元，之後每天是前一天的 $2$ 倍：第 $1$ ～ $7$ 天分別是 $1$ 、 $2$ 、 $2^{2} = 4$ 、 $2^{3} = 8$ 、 $2^{4} = 16$ 、 $2^{5} = 32$ 、 $2^{6} = 64$ 元。合計 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$ 元。

乙方案。 每天 $20$ 元，共 $7$ 天： $20 \times 7 = 140$ 元。

(1) $140 > 127$ ，乙方案得到的獎勵金最高，應選乙方案。

(2) 兩個方案相差 $140 - 127 = 13$ 元。

甲方案最後一天雖然有

64

元，但前幾天很少，

7

天加起來仍比乙方案少。

移動問題看「兩人的距離每次變多少」，比分別追蹤兩個人的位置更快。

同一次段考的其他學校

同樣是國一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

太保國中34 題

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

正義高中 115 上國一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 28 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

正義高中 115 上國一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 3 題要從點的左右位置推出 b 是負數，再判斷 b−a 是正數；選擇第 8 題要先判斷三個絕對值裡面的正負再去掉絕對值；填充第 3 題的記法是較晚記負、較早記正，方向容易弄反；計算第 1 題要看出每猜一次兩人的距離改變 7。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自正義高中 115 學年度上學期國一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國一

段考詳解範圍：整數的運算（正負數與數線、相反數與絕對值、整數的加減、整數的乘除與四則運算、指數記法、科學記號）

正義高中 115 上
國一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

一、選擇題（每題 3 分，共 42 分）

下列敘述何者正確？

(A) 最小的正整數為 $0$
(B) 最小的負整數為 $- 1$
(C) 最小的正整數為 $1$
(D) 最大的負數為 $- 1$

下列有關絕對值的敘述，何者錯誤？

(A) 所有數絕對值都是正數或 $0$
(B) $5 > - 7$ ，所以 $∣5∣ > ∣ - 7 ∣$
(C) 兩相反數的絕對值相等
(D) 絕對值越大，距離原點越遠

A (a)

、

B (b)

、

P (a + b)

三點在數線上的位置如附圖所示。若要在數線上標示點

Q (b - a)

，則關於

Q

點的位置，下列敘述何者正確？

(A) 在 $B$ 的右邊
(B) 介於 $A$ 、 $B$ 之間
(C) 介於 $P$ 、 $A$ 之間
(D) 在 $P$ 的左邊

載入中...

若

a

的相反數可以記為「

- a

」，那麼下列哪一個式子不一定是正確的？

(A) $∣ - a ∣ = ∣ a ∣$
(B) $∣ - a ∣ = a$
(C) $- (- a) = a$
(D) 當 $a < 0$ 時， $- a > 0$

已知數線上兩點

A (- 18)

、

B (12)

。若有

5

個等分點將

\overline{A B}

分成

6

等分，則這

5

個等分點所表示的數的總和為多少？

(A) $- 10$
(B) $- 12$
(C) $- 15$
(D) $- 18$

(- 9) + 16 + (- 12)

的運算結果與下列哪一選項的運算結果不同？

(A) $[(- 9) + (- 12)] + 16$
(B) $16 + [(- 9) + (- 12)]$
(C) $(16 - 9) + (- 12)$
(D) $- (9 - 12) + 16$

附圖表示數線上四個點的位置關係，且它們表示的數分別為

p

、

q

、

r

、

s

。若

∣ p - r ∣ = 10

，

∣ p - s ∣ = 12

，

∣ q - s ∣ = 9

，則

∣ q - r ∣ =

？

(A) $7$
(B) $9$
(C) $11$
(D) $13$

載入中...

若

c < b < a < 0

，則

∣ c - a ∣ - ∣ b - a ∣ - ∣ a - b - c ∣ =

？

(A) $2 a$
(B) $2 a + b$
(C) $2 b - a$
(D) $b - c$

某海洋的表面溫度是

2 2^{\circ} C

，若該海洋水深每增加

1

km 水溫便會降低

3^{\circ} C

，則下列哪一個式子的計算值可以表示水深

4

km 處的溫度？

(A) $(- 3) \times (- 4)$
(B) $(- 3) \times 4$
(C) $22 - (- 3) \times 4$
(D) $22 + (- 3) \times 4$

若

b \neq = 0

，

c \neq = 0

，則

a \div (- b) \div (- c)

的值與下列何者相同？

(A) $a \times (b \div c)$
(B) $a \div (b \times c)$
(C) $a \div (b + c)$
(D) $a \div [(- b) \div (- c)]$

已知

a \times b > 0

，則下列敘述何者正確？

(A) 若 $c > 0$ ，則 $a \times c$ 必大於 $0$
(B) 若 $c < 0$ ，則 $b \times c$ 必大於 $0$
(C) 若 $a \times c > 0$ ，則 $b \times c$ 必大於 $0$
(D) 若 $b \times c < 0$ ，則 $a \times c$ 必大於 $0$

下列敘述何者錯誤？

(A) $- 2^{4} = - (2 \times 2 \times 2 \times 2)$
(B) $(- 2)^{4} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2)$
(C) $- 2^{5} = (- 2)^{5}$
(D) $- 2^{6} = (- 2)^{6}$

設

a

、

b

、

c

是正整數，則下列哪一個數一定是負數？

(A) $(- a) \times (- b) \times (- c)^{2}$
(B) $(- a) \div (- b) \div (- c)^{2}$
(C) $(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{2}$
(D) $(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{3}$

若

a = 3.24 \times 1 0^{- 8}

、

b = 7.48 \times 1 0^{- 9}

、

c = 1.2 \times 1 0^{- 9}

，試比較

a

、

b

、

c

的大小？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $c > b > a$

二、填充題（每題 4 分，共 48 分）請計算出完整數字並化到最簡，否則不予計分！

絕對值大於

3.8

且小於

7.6

的整數共有 ____ 個。

若要畫出

4 \frac{3}{8}

的點，則至少要在

4

和

5

之間作 ____ 個等分點。

若以上午

10 : 00

為基準，下午

1 : 00

表示為

- 9

，則上午

4 : 00

可表示為 ____。

數線上有兩點

A

、

B

，若

A

點坐標為

- 5

，

A

、

B

的中點坐標為

- 2

，則

B

點坐標為 ____。

計算

123 - 321 =

____。

計算

(- 82) + {(- 38) - [(- 33) - ∣ - 19 ∣]} =

____。

計算

23497 \times (- 2) \times 0 \times (- 378) =

____。

計算

- 98765 \times 1234 + 98765 \times 11234 =

____。

計算

4 \times (- 3)^{2} - (- 2)^{4} \times 5 \div (- 4^{2}) =

____。

若

(- 54) \div 6 \div (- 3) = a

，

(- 3) \times 6 \times 12 = b

，則

\frac{b}{a} =

____。

已知

119 \times 21 = 2499

，則

119 \times 2 1^{3} - 2497 \times 2 1^{2} =

____。

將數以科學記號表示：

\frac{1}{250000} =

____。

三、計算題（每題 5 分，共 10 分）請寫出詳細計算過程於答案卷上，否則不予計分！

在地面上畫一條數線後，甲、乙兩人分別站在

- 9

與

5

的位置開始猜拳比賽，每次贏的人向右走

3

個單位長，輸的人則向左走

4

個單位長，經過了

6

次有輸贏（不計平手次數）的猜拳後兩人相遇，試問這

6

次猜拳中甲贏了幾次？（

5

分）

瑋瑋爸爸為了獎勵瑋瑋認真求學的態度，決定實施為期

7

天的獎勵計畫，並提出兩種方案讓冠麟選擇：甲方案：第一天給

1

元，第二天起每天都給前一天的兩倍，直到第

7

天為止。乙方案：每天給

20

元，持續

7

天。 (1) 你可以幫冠麟選擇一個得到獎勵金最高的方案嗎？（

3

分） (2) 請計算出兩個方案的獎勵金相差多少元？（

2

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(D)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(D)

第 10 題(B)

第 11 題(C)

第 12 題(D)

第 13 題(D)

第 14 題(A)

第 15 題

8

第 16 題

7

第 17 題

+ 18

第 18 題

1

第 19 題

- 198

第 20 題

- 68

第 21 題

0

第 22 題

987650000

第 23 題

41

第 24 題

- 72

第 25 題

882

第 26 題

4 \times 1 0^{- 6}

第 27 題

4

次

第 28 題(1) 乙方案　(2)

13

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1～5：正負數、絕對值、數線上的位置與等分點

第 1 題答案 (C)。(A) 錯誤：

0

不是正數，最小的正整數是

1

。(B) 錯誤：負整數

- 1

、

- 2

、

- 3

、… 一直往左延伸，沒有最小的；

- 1

是最大的負整數。(C) 正確。(D) 錯誤：

- 0.5

比

- 1

大，而且還有更接近

0

的負數，所以沒有最大的負數。

「最大的負整數」是

- 1

，但「最大的負數」不存在，差在有沒有「整」字。

第 2 題答案 (B)。(A) 正確：絕對值是到原點的距離，不會是負數；只有

0

的絕對值是

0

。(B) 錯誤：

∣5∣ = 5

，

∣ - 7 ∣ = 7

，所以

∣5∣ < ∣ - 7 ∣

；數本身比較大，絕對值不一定比較大。(C) 正確：相反數在原點兩側、與原點距離相同。(D) 正確：絕對值就是與原點的距離。題目問錯誤的，選 (B)。

負數比大小時，絕對值愈大的負數反而愈小。

第 3 題答案 (A)。由圖，

P

在

A

的左邊，表示

a + b

比

a

小，也就是

a

加上

b

之後變小了，所以

b

是負數。

B

在

A

的右邊，所以

a < b

，而

b

是負數，所以

a

也是負數。

b

在

a

的右邊，

b - a

就是

A

到

B

的距離，是正數。

Q

表示正數，而

B

表示負數，所以

Q

在

B

的右邊。

舉例檢查：

a = - 5

、

b = - 2

，則

a + b = - 7

，順序

P

、

A

、

B

與圖相同；

b - a = 3

，在

b = - 2

的右邊。

第 4 題答案 (B)。(A) 一定正確：

- a

與

a

互為相反數，與原點的距離相同。(B) 不一定正確：當

a

是負數，例如

a = - 3

，

∣ - a ∣ = ∣3∣ = 3

，不等於

a = - 3

。(C) 一定正確：

a

的相反數的相反數就是

a

。(D) 一定正確：負數的相反數是正數。題目問不一定正確的，選 (B)。

∣ - a ∣ = a

只有在

a \geq 0

時才成立。

第 5 題答案 (C)。

\overline{A B}

長

12 - (- 18) = 30

，分成

6

等分，每一等分長

30 \div 6 = 5

。從

A

開始每次加

5

：

5

個等分點是

- 13

、

- 8

、

- 3

、

2

、

7

。總和

= (- 13) + (- 8) + (- 3) + 2 + 7 = - 15

。

中間那一個

- 3

是

\overline{A B}

的中點；左右成對的

- 13

與

7

、

- 8

與

2

的和都是

- 6

，總和也可以算成

- 3 \times 5 = - 15

。

由數線上的左右位置判斷大小，再由「加上一個數後變大或變小」判斷那個數的正負。

02選擇 6～10：加減的運算規律、數線上的距離、去絕對值與乘除

第 6 題答案 (D)。原式

= 7 + (- 12) = - 5

。(A)

(- 21) + 16 = - 5

。(B)

16 + (- 21) = - 5

。(C)

7 + (- 12) = - 5

。(D)

9 - 12 = - 3

，

- (- 3) = 3

，

3 + 16 = 19

，與原式不同。

(A)(B)(C) 都只是交換相加的順序或先把某兩個數結合，結果不變；(D) 的

- (9 - 12)

其實是

- 9 + 12

，把

- 12

變成了

+ 12

。

第 7 題答案 (A)。由圖，四點由左到右是

p

、

q

、

r

、

s

。

∣ p - r ∣ = 10

是

p

到

r

的距離，

∣ p - s ∣ = 12

是

p

到

s

的距離，所以

r

到

s

的距離是

12 - 10 = 2

。

∣ q - s ∣ = 9

是

q

到

s

的距離，

r

在

q

、

s

之間，所以

q

到

r

的距離是

9 - 2 = 7

，即

∣ q - r ∣ = 7

。

兩數相減的絕對值，就是數線上兩點的距離。

第 8 題答案 (C)。

c < a

，

c - a

是負數，

∣ c - a ∣ = a - c

。

b < a

，

b - a

是負數，

∣ b - a ∣ = a - b

。

a - b

是正數，

c

是負數所以

- c

是正數，

a - b - c = (a - b) + (- c)

是正數，

∣ a - b - c ∣ = a - b - c

。原式

= (a - c) - (a - b) - (a - b - c) = a - c - a + b - a + b + c = 2 b - a

。

舉例檢查：

c = - 5

、

b = - 3

、

a = - 1

，原式

= 4 - 2 - 7 = - 5

，而

2 b - a = - 6 + 1 = - 5

。

第 9 題答案 (D)。水深每增加

1

km 水溫降低

3^{\circ} C

，降低記為

- 3

。水深

4

km 共變化

(- 3) \times 4 = - 12

，溫度是

22 + (- 3) \times 4 = 22 - 12 = 10 (^{\circ} C)

。(A)(B) 沒有加上表面溫度

22

；(C) 的值是

22 - (- 12) = 34

，變成升溫了。

「降低」用負數表示，再加到原來的溫度上。

第 10 題答案 (B)。由左而右，先除以

- b

再除以

- c

，等於除以兩數的乘積

(- b) \times (- c) = b \times c

，所以

a \div (- b) \div (- c) = a \div (b \times c)

。用

a = 36

、

b = 6

、

c = 3

檢查：原式

36 \div (- 6) \div (- 3) = (- 6) \div (- 3) = 2

。(A)

36 \times (6 \div 3) = 72

；(B)

36 \div (6 \times 3) = 36 \div 18 = 2

，相同；(C)

36 \div (6 + 3) = 4

；(D)

(- 6) \div (- 3) = 2

，

36 \div 2 = 18

。只有 (B) 與原式相同。

連續除以兩個數，等於除以這兩個數的乘積，不是除以它們的商。

去絕對值前，先判斷裡面的數是正是負：正數照抄，負數加負號變成相反數。

03選擇 11～14：乘積的正負、指數與科學記號比大小

第 11 題答案 (C)。

a \times b > 0

，表示

a

、

b

同號（同正或同負）。(A) 錯誤：

a

可能是負數，例如

a = - 1

、

b = - 1

、

c = 2

，

a \times c = - 2 < 0

。(B) 錯誤：

b

可能是正數，例如

a = b = 1

、

c = - 2

，

b \times c = - 2 < 0

。(C) 正確：

a \times c > 0

表示

a

、

c

同號，又

a

、

b

同號，所以

b

、

c

同號，

b \times c > 0

。(D) 錯誤：

b \times c < 0

表示

b

、

c

異號，

a

與

b

同號，所以

a

、

c

異號，

a \times c < 0

。

兩數相乘：同號得正、異號得負。

第 12 題答案 (D)。(A) 正確：

- 2^{4}

的指數只掛在

2

上。(B) 正確：

(- 2)^{4}

是

4

個

- 2

相乘。(C) 正確：

- 2^{5} = - 32

，

(- 2)^{5}

是奇數個負數相乘，也是

- 32

。(D) 錯誤：

- 2^{6} = - 64

，

(- 2)^{6}

是偶數個負數相乘，等於

64

。題目問錯誤的，選 (D)。

指數是奇數時

- 2^{n}

與

(- 2)^{n}

相等，是偶數時兩者互為相反數。

第 13 題答案 (D)。

a

、

b

、

c

是正整數，

- a

、

- b

、

- c

都是負數。負數的奇數次方是負數，偶數次方是正數。(A) 負

\times

負

\times

正，是正數。(B) 負

\div

負

\div

正，是正數。(C)

(- a)^{3}

負、

(- b)^{5}

負、

(- c)^{2}

正，乘積是正數。(D)

(- a)^{3}

、

(- b)^{5}

、

(- c)^{3}

都是負數，三個負數相乘是負數。

數一數總共有幾個負號因數：

(- a)^{3} \times (- b)^{5} \times (- c)^{3}

共

3 + 5 + 3 = 11

個

- 1

，奇數個，所以是負數。

第 14 題答案 (A)。化成小數：

a = 3.24 \times 1 0^{- 8}

是把

3.24

的小數點向左移

8

位，得

0.0000000324

；

b = 7.48 \times 1 0^{- 9}

向左移

9

位，得

0.00000000748

；

c = 1.2 \times 1 0^{- 9}

向左移

9

位，得

0.0000000012

。逐位比較，

a

在小數點後第

8

位就出現

3

，

b

、

c

的前

8

位都是

0

，所以

a

最大；

b

、

c

第

9

位分別是

7

與

1

，

b > c

。所以

a > b > c

。

10

的次方不同時，先比次方：

1 0^{- 8}

比

1 0^{- 9}

大，所以

a

最大；次方相同再比前面的數，

7.48 > 1.2

。

判斷乘積的正負，只要數負數因數有幾個：奇數個是負，偶數個是正。

04填充 1～6（第 15～20 題）：絕對值、數線與加減

第 15 題絕對值大於

3.8

且小於

7.6

的正整數是

4

、

5

、

6

、

7

，共

4

個；負整數是

- 4

、

- 5

、

- 6

、

- 7

，也是

4

個。共

8

個。

絕對值相同的數有一正一負兩個，不要漏掉負整數。

第 16 題

4 \frac{3}{8}

在

4

和

5

之間，要把這一段分成

8

等分，從

4

往右數第

3

小格的位置就是

4 \frac{3}{8}

。分成

8

等分需要在中間作

8 - 1 = 7

個等分點。

分成幾等分，等分點就比等分數少

1

（兩個端點

4

、

5

不算）。

第 17 題下午

1 : 00

比上午

10 : 00

晚

3

小時，記為

- 9

，所以每晚

1

小時記

- 9 \div 3 = - 3

，也就是每早

1

小時記

+ 3

。上午

4 : 00

比上午

10 : 00

早

6

小時，記為

(+ 3) \times 6 = + 18

。

這題是「較晚」記負、「較早」記正，和一般習慣相反，要由已知的記錄決定方向。

第 18 題

A

到中點的距離是

- 2 - (- 5) = 3

，中點在

A

的右邊。

B

在中點右邊再距離

3

：

B

的坐標是

- 2 + 3 = 1

。

檢查：

- 5

與

1

的中點是

- 5 + (1 - (- 5)) \div 2 = - 5 + 3 = - 2

。

第 19 題

123 - 321

：減數比被減數大，結果是負數，

321 - 123 = 198

，所以

123 - 321 = - 198

。

a - b

與

b - a

互為相反數。

第 20 題由內而外。

∣ - 19 ∣ = 19

。中括號：

(- 33) - 19 = - 52

。大括號：

(- 38) - (- 52) = - 38 + 52 = 14

。原式

= (- 82) + 14 = - 68

。

減去

- 52

等於加上

52

。

多層括號由內而外算，每一步減去一個數就改成加上它的相反數。

05填充 7～12（第 21～26 題）：乘除、分配律、指數與科學記號

第 21 題連乘的因數中有

0

，任何數乘以

0

都是

0

，所以結果是

0

。

不必先算

23497 \times (- 2)

。

第 22 題兩項都有

98765

，用分配律：原式

= 98765 \times (- 1234 + 11234) = 98765 \times 10000 = 987650000

。

- 1234 + 11234 = 10000

，乘以

10000

就是在後面補

4

個

0

。

第 23 題先算次方：

(- 3)^{2} = 9

，

(- 2)^{4} = 16

，

- 4^{2} = - 16

（指數只掛在

4

上）。再算乘除：

4 \times 9 = 36

；

16 \times 5 = 80

，

80 \div (- 16) = - 5

。最後

36 - (- 5) = 36 + 5 = 41

。

(- 2)^{4} \times 5 \div (- 4^{2})

要由左而右，先乘再除。

第 24 題

a = (- 54) \div 6 \div (- 3) = (- 9) \div (- 3) = 3

。

b = (- 3) \times 6 \times 12 = (- 18) \times 12 = - 216

。

\frac{b}{a} = b \div a = (- 216) \div 3 = - 72

。

\frac{b}{a}

就是

b \div a

；異號相除得負。

第 25 題

2 1^{3} = 21 \times 2 1^{2}

，所以

119 \times 2 1^{3} = (119 \times 21) \times 2 1^{2} = 2499 \times 2 1^{2}

。原式

= 2499 \times 2 1^{2} - 2497 \times 2 1^{2} = (2499 - 2497) \times 2 1^{2} = 2 \times 441 = 882

。

把

2 1^{3}

拆成

21 \times 2 1^{2}

，就能用上已知的

119 \times 21 = 2499

，再用分配律提出

2 1^{2}

。

第 26 題

\frac{1}{250000} = \frac{4}{1000000} = 0.000004

。

0.000004

是把

4

的小數點向左移

6

位得到的，所以

0.000004 = 4 \times 1 0^{- 6}

。

分子分母同乘

4

，分母變成

1000000

，就容易化成小數。檢查：

4 \times 1 0^{- 6}

是小數點後第

6

位為

4

。

看到相同的因數就想分配律，把它提出來再算，可以省下大量計算。

06計算題 1～2（第 27～28 題）：猜拳相遇、兩種獎勵方案

第 27 題

開始時的距離。 甲在 $- 9$ 、乙在 $5$ ，乙在甲的右邊，距離 $5 - (- 9) = 14$ 個單位長。

檢查。 甲： $- 9 + 3 \times 4 + (- 4) \times 2 = - 9 + 12 - 8 = - 5$ 。乙： $5 + 3 \times 2 + (- 4) \times 4 = 5 + 6 - 16 = - 5$ 。兩人都在 $- 5$ ，確實相遇。

答：甲贏了 $4$ 次。

也可以逐一試：甲贏

0

～

6

次時，

6

次後兩人的距離依序是

56

、

42

、

28

、

14

、

0

、

14

、

28

，只有甲贏

4

次時距離是

0

。

第 28 題

乙方案。 每天 $20$ 元，共 $7$ 天： $20 \times 7 = 140$ 元。

(1) $140 > 127$ ，乙方案得到的獎勵金最高，應選乙方案。

(2) 兩個方案相差 $140 - 127 = 13$ 元。

甲方案最後一天雖然有

64

元，但前幾天很少，

7

天加起來仍比乙方案少。

移動問題看「兩人的距離每次變多少」，比分別追蹤兩個人的位置更快。

同一次段考的其他學校

同樣是國一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

太保國中34 題

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03選擇 11～14：乘積的正負、指數與科學記號比大小

04填充 1～6（第 15～20 題）：絕對值、數線與加減

05填充 7～12（第 21～26 題）：乘除、分配律、指數與科學記號

06計算題 1～2（第 27～28 題）：猜拳相遇、兩種獎勵方案

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國一第一次段考
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