本詳解為御藍教育獨立撰寫，未重製任何原試題；題目版權屬原出版社所有。頁面以場次代號稱呼，不點名出版社、不標示學校。難度標記為我方十級難度尺的自標初值；20 題答案已與官方答案總表逐格核對。
這份卷的難題不靠計算量，
靠換一個看法。
看對了，三步就結束
第 10 題
係數成等差 ⇒ 每一條直線都過同一點，最短弦一眼可見
第 20 題
兩條外公切線的交點 ＝ 圓心連線的外分點，不必求切線
第 6 題
名稱只看誰和誰同香 ⇒ 5 片分組，數 7 種型態
每按一輪，指數就被取一次 log。
d4｜按鍵的迴圈
第一輪
取 log 得 1050，平方得 10100
第二、三輪
10100 → 100 → 104；104 → 4 → 16
第四輪
log 16 ≈ 1.204，平方 ≈ 1.45 —— 還大於 1
第五輪
log 1.45 ＜ log 10 ＝ 1，平方仍小於 1 ⇒ 第五輪
最多人錯在這第四輪看到 log 16 ≈ 1.2 就以為到了，忘了還要平方；平方後是 1.45，還沒小於 1。
比兩種物質，就是數半衰期的次數差。
d4｜數衰退次數差
最多人錯在這開始時「甲是乙的一半」寫成 21 而不是 2－1 ⇒ 差 2 次 ⇒ 22 次 ⇒ 18011 小時，正好是選項 (2)。
公比是 3/2，
首項就得含夠多個 2。
d6｜公比的分母
整數條件
an ＝ a1(32)n－1 全是整數 ⇒ a1 ＝ k·2n－1、an ＝ k·3n－1
試 7 項
a1 ＝ 64k ≥ 100 ⇒ k ≥ 2；a7 ＝ 729k ≤ 1000 ⇒ k ≤ 1，矛盾
試 6 項
32k ≥ 100 且 243k ≤ 1000 ⇒ k ＝ 4
驗證
128、192、288、432、648、972 —— 6 項
最多人錯在這從 100 開始乘 1.5：150、225、337.5 就斷了，於是以為只有 3 項。首項必須是 2 的高次倍數，不能從 100 起算。
遞迴式看起來亂，
把奇偶兩條分開就是公式題。
d5｜奇偶分開加
攤開
A21 ＝ 123 ＋ (2²＋4²＋…＋20²) ＋ (2³＋4³＋…＋20³)
提出 2 的次方
＝ 123 ＋ 4(1²＋…＋10²) ＋ 8(1³＋…＋10³)
套公式卷
4 × 385 ＋ 8 × 3025 ＝ 1540 ＋ 24200
合計
25863
最多人錯在這奇數項的 (n－1)³ 看成 n³，或偶數項從 1² 加起。五個選項只差 10，末位錯一個就選錯。
反彈三次，
把場地鏡射展開就只剩一條直線。
d6｜把牆翻過去
最多人錯在這最後一段只到 BC 的中點，高度只走 4 不是 8；算成 3224 ＝ 43，正好是選項 (4)。
「名稱」只看誰和誰同香，不看是哪一種香。
d7｜五片香木的名稱
最多人錯在這從 3 片的例子數到 5 種，就猜是 2n 選 32；或把「2同2同1異」的兩個同組當成有順序，15 算成 30。
不等式的解集只由會變號的根決定。
d5｜只看變號的根
定 f
f(x) ＝ a(x－1)(x－3)(x－7)，f(5)＝1 ⇒ a ＝ －116 ⇒ f＞0 ⇔ (x－1)(x－3)(x－7)＜0
奇次方
(x－3)³、(x－7)⁷ 與一次方同號 ⇒ (1) 同解
平方因式
(x－2)² 在 x＝2 為 0，但 2 本來就不在解集 ⇒ (2) 同解；(x－4)² 挖掉 4 ⇒ (3) 不同
二次因式
x²－2x＋5 恆正可去 ⇒ (5) 同解；x²－2x－5 有實根 ⇒ (4) 不同
最多人錯在這看到平方因式一律當「非負、可以去掉」——它等於 0 的那一點會被挖掉，要看那一點在不在原解集。
解集的每個端點都是一條方程式。
d5｜端點對回去
兩個不等式
|x－a|＞2 ⇒ x＜a－2 或 x＞a＋2；|x－10|≤b ⇒ 10－b ≤ x ≤ 10＋b
對左端
10－b ＝ 2 ⇒ b ＝ 8，d ＝ 10＋b ＝ 18
對中間
a－2 ＝ 5 ⇒ a ＝ 7，c ＝ a＋2 ＝ 9
檢查
d－c ＝ 18－9 ＝ 9
最多人錯在這把右端的 d 當成 10——那是中心不是端點；d 要由 10＋b 算出來。
三個除式的根只有 0、1、2，
代這三個數就夠了。
d6｜代 0、1、2 就夠
代根
x²－x、x²－2x、x²－3x＋2 的根合起來只有 0、1、2
列式
f(0) ＝ d ＝ 4；f(1) ＝ a＋d ＝ c；f(2) ＝ 2b＋4 ＝ 2c
解
配 a＋b＋c＋d ＝ 7 ⇒ c＝3、a＝－1、b＝1、d＝4
(5) 餘式
除以 x(x－1)(x－2) 的餘式 r 滿足 r(0)＝4、r(1)＝3、r(2)＝6 ⇒ r ＝ 2x²－3x＋4
最多人錯在這(5) 的 2x²＋3x＋4 只差一個正負號。代 x＝1 得 9，不等於 f(1)＝3，一驗就知道。
a、b、c 成等差，
每一條直線都過同一個點。
d7｜等差係數＝過定點
找定點
a－2b＋c ＝ 0 ⇒ 每條 L 都過 (1, －2)
定點在圓內
圓心 (0, －2)、半徑 √5；定點距圓心 1 ＜ √5 ⇒ 永遠交兩點
(2)(3)
x＝1 與 y＝－2 都過定點（分別是 b＝0、a＝0）⇒ 都可能
(5) 最短弦
弦垂直於「圓心→定點」時最短：2√5－1 ＝ 4，不是 √15
最多人錯在這(1) 半徑是 √5 不是 5；(4) 要先用等差把 c 換成 2b－a 才化得出 |a|，硬算會以為選項是錯的。
迴歸直線只保證過平均點，不保證有人站在上面。
d5｜迴歸線只知道平均
(1)
μY ＝ 54 × 48 ＋ k ＝ 60 ＋ k ＞ 60
(2)
斜率 ＝ r·σYσX ⇒ 54 ＝ r·2016 ⇒ r ＝ 1
(3)
迴歸方程式管不到全距，兩科全距相同是可能的
(4)(5)
平均點不必是真實資料點；迴歸線也管不到個別分數 ⇒ 都錯
最多人錯在這(4) 把「迴歸線過 (48, 70)」讀成「有人考 48 和 70」——平均數本身常常沒有人考到。
(x＋3)²＋y² 是距離的平方，選項給的是距離。
d6｜距離與距離平方
(1)
不過 (0, －1) 的那條是 ax＋dy＋e＝0；區域在它左側且 ≤ 0 ⇒ a＞0
(2)(3)
ax＋by＋b＝0 斜率 －a/b＜0 ⇒ b＞0；ax＋dy＋e＝0 的 x 截距 －e/a＞0 ⇒ e＜0
(4) 斜率最小
從 (－3, 0) 看頂點 (0, －1)，斜率 －13 最小
(5) 最近點
(－3, 0) 到 3x＋y＋1＝0 的距離 8√10，平方是 325；45√10 是距離本身
最多人錯在這算出距離就對上選項 (5)——題目要的是平方。另外要確認垂足落在區域的邊上（垂足 (－0.6, 0.8) 在線段內）。
√9－√80 ＝ √9－2√20，
找和 9、積 20 的兩個數。
d3｜和 9、積 20
拆根號
√9－2√20 ＝ √5－√4 ＝ √5－2
倒數
1x ＝ √5＋2 ⇒ x＋1x ＝ 2√5
平方和
x²＋1x² ＝ (2√5)²－2 ＝ 18
合計
2√5 ＋ 18
最多人錯在這拆成 √4－√5（是負數）——雙重根號要大減小；或把 x²＋1/x² 直接當成 (x＋1/x)²，忘了減 2。
外接圓半徑相等，
用正弦定理換成兩條邊相等。
d6｜半徑相等＝兩邊相等
補角
∠ACB 與 ∠ACD 互補 ⇒ 兩個正弦相等
正弦定理
ABsin∠ACB ＝ 2R ＝ ADsin∠ACD ⇒ AD ＝ AB ＝ 12
餘弦
cos∠ACB ＝ 8²＋8²－12²2·8·8 ＝ －18 ⇒ cos∠ACD ＝ 18
解 CD
12² ＝ x²＋8²－2·8·x·(1/8) ⇒ x²－2x－80 ＝ 0 ⇒ x ＝ 10
最多人錯在這想先算出外接圓半徑 R 的數值——題目根本不需要 R，卡在那一步會用掉很多時間。
五張總和 30，
上排是 10 的倍數，下排自動成立。
d5｜上排決定一切
最多人錯在這把兩張 2、兩張 8 當成同一張，少乘了 4；或只算選哪兩張放上排，忘了排位置。
問的是店家的期望值，
先把收的 200 算進去。
d5｜站在店家那一邊
最多人錯在這算成客人的期望值 －25；或把「恰兩顆同」數成 6×5＝30，忘了乘上位置的 3。
絕對值等式要拆兩種，其中一種會無解。
d6｜絕對值拆兩種
點 A
|b－1|√a²＋1 ＝ 1 ⇒ |b－1| ＝ √a²＋1
點 B
|2a＋b－2|√a²＋1 ＝ 2 ⇒ |2a＋b－2| ＝ 2|b－1|
情形一
2a＋b－2 ＝ 2(b－1) ⇒ b ＝ 2a ⇒ 3a²－4a ＝ 0 ⇒ a ＝ 43（a≠0）
情形二
2a＋b－2 ＝ －2(b－1) ⇒ 代回得 5a²＋4a＋8 ＝ 0，判別式小於 0，無解
最多人錯在這只取正號就停。這題另一種剛好無解，但要寫出來才能確定答案唯一；a＝0 要依題設捨去。
三邊都知道，餘弦定理一步到位。
d3｜後兩題的地基
最多人錯在這只記得 cos 值是 1/2 忘了負號，選成 60°。
凸四邊形 BCED ＝
四個三角形拼起來。
d5｜拆成四塊
角度
∠DAE ＝ 360°－120°－60°－60° ＝ 120°
全等
AD＝AB、AE＝AC、夾角都是 120° ⇒ △ADE ≅ △ABC
四塊
△ABC＋△ADE ＝ 2 × 15√3；△ACE ＝ 9√3；△ABD ＝ 25√3
合計
64√3
最多人錯在這漏掉 △ADE，或把 ∠DAE 當 60°。非選擇題要寫出 ∠DAE 怎麼來、為什麼全等，否則會被扣分。
兩條外公切線的交點，
就是兩圓的外位似中心。
d7｜外公切線的交點
兩個圓心
正三角形的外心就是重心：O1(5, －5√3)、半徑 10√33；O2(－3, √3)、半徑 2√3
三點共線
30°＋120°＋30° ＝ 180° ⇒ O1、A、O2 共線（兩圓在 A 相切）
比例
交點 R 在圓心連線上，RO1 : RO2 ＝ 半徑比 ＝ 5 : 3，R 在 O2 外側
分點公式
RO2 : O2O1 ＝ 3 : 2 ⇒ R ＝ (－15, 5√3)
最多人錯在這用內分（5 : 3 分 O₁O₂）會算出 (0, 0)，也就是兩圓相切的點 A——那是內公切線的位置，外公切線要外分。
常見問題
115 學年度 第二次全國學測模擬考（N2）數學的答案在哪裡？
本頁列出 20 題的答案與解法路徑（一題一張，含最多人錯的地方）。答案為御藍教育獨立撰寫並與官方答案總表逐格核對，未重製原試題。
115 學年度 第二次全國學測模擬考（N2）數學哪幾題最難？
依我們的十級難度尺，難度 d7 的是 第 6 題（五片香木的名稱）、第 10 題（等差係數＝過定點）、第 20 題（外公切線的交點）——難的不在計算，在第一步的入口。其餘題目入口都看得見，差別只在有沒有踩到誘答。
模擬考數學考完怎麼檢討？
對答案前先把每題標〇（確定）、△（猜的）、✗（不會），只檢討 △ 和 ✗；再把錯題按單元與錯法（觀念、計算、格式、沒讀懂）分類；每個錯的單元練 8～10 題同技能的題，再回頭重做原題。