本詳解為御藍教育獨立撰寫,未重製任何原試題;題目版權屬原出版社所有。頁面以場次代號稱呼,不點名出版社、不標示學校。難度標記為我方十級難度尺的自標初值;20 題答案已與官方答案總表逐格核對。
這份考卷有兩題，
你算得再快也沒用。
因為第一步就走錯了
第 11 題
看到「整數係數」＋一段很窄的範圍，那是在叫你先因式分解
第 17 題
你根本不需要知道 f(x) 長什麼樣子
其餘 18 題
入口都看得見 —— 差別只在你有沒有踩到那個誘答
那一格不是變出來的，
是斜率差出來的。
d5｜失蹤的正方形
最多人錯在這把 A、B、C 當成共線就直接選 0 —— 那正是這個謎題設計來騙你的地方。
補角讓 sin 不動，
倒數讓 log 變號。
d5｜象限判斷
最多人錯在這由 cos A < 0 推出 sin A < 0。90°～180° 之間 sin 仍然是正的。
先把底數換成 10，
指數就自己對上了。
d4｜指數還原
最多人錯在這第二項的負指數漏掉，算成 5² ＝ 25 —— 加起來 34，選項裡沒有，然後開始亂猜。
頭號陷阱不是光速，
是公尺換公里。
d5｜光年換算
1 光年
3×108 m/s × 3.1×107 s ＝ 9.3×1015 公尺 ＝ 9.3×1012 公里
4.2 光年
4.2 × 9.3×1012 ＝ 39.06×1012 ＝ 3.906×1013
取對數
log(3.906×1013) ≈ 13 ＋ 0.59 ＝ 13.59
最多人錯在這忘了公尺換公里，答案整整大 10³ 倍 ⇒ 誤選 10¹⁵·⁶⁰²。這是本題設計的第一號誘答。
每個城市都連三條路 ——
第一步只有三種，
而且長得一樣。
d6｜八城市環狀路線
最多人錯在這把環路只算一次，答案剛好少一半。畫樹狀圖時務必固定字母順序，否則你無法確認自己沒漏。
✓ 已與官方答案核對：(1) 12 種。程式窮舉立方體圖由 A 出發的哈密頓迴路（含方向）亦得 12。
底固定，
面積最大就只看 P 的高度。
d6｜最大三角形的內切圓
定位 P
Γ 是圓心 (2,0)、半徑 2 的上半圓；底 OA＝4 固定 ⇒ P＝(2,2)，面積 4。
三邊長
OP ＝ AP ＝ 2√2，OA ＝ 4
內切圓
s ＝ 2＋2√2，r ＝ 面積s ＝ 42＋2√2 ＝ 2(√2－1)
讀 y 坐標
OA 在 x 軸上 ⇒ 內心的 y 坐標就是 r。
最多人錯在這有理化時分母乘錯號，得到大於 2 的半徑 —— 明顯不合理卻沒察覺。
[sin θ] 只有三個值，
整題就變成數數。
d6｜[sin θ] 的求和
三分法
[sinθ]＝1 只在 sinθ＝1；＝0 在 0≦sinθ<1；＝－1 在 sinθ<0。
逐項
[sin30°]＝[0.5]＝0（不是 1）；[cos120°]＝[－0.5]＝－1
第 (5) 項
18 項中：sin＝0 有 2 項、sin 為正有 8 項（各 0）、sin 為負有 8 項（各 －1）
總和
0 × 10 ＋ (－1) × 8 ＝ －8 ✔
最多人錯在這以為 [－0.5]＝0（往零取整）。定義是「不大於 x 的最大整數」，所以是 －1。
那條直線一定穿過對稱中心 ——
三個交點就對稱了。
d6｜三次函數的對稱中心
定中心
f 的對稱中心為 (1, q)；題給 (k, k) ⇒ k＝1、q＝1。
定係數
A(2,0) 在 f 上 ⇒ a－4＋1＝0 ⇒ a＝3；在 g 上 ⇒ m＝－1。
用對稱
g 過 (1,1) ⇒ B＝(1,1)，C 是 A 對 (1,1) 的對稱點 ＝ (0,2)，且 AB＝BC。
實根
令 u＝x－1 得 (u－1)(3u²＋3u－1)＝0 ⇒ x ≈ 2、1.264、－0.264 ⇒ 2 正 1 負
最多人錯在這解出 u 之後忘了換回 x —— 正負判斷全錯，第 (4) 個選項就是為這個錯設計的。
分母是 27 不是 7!，
這題一開始就在賭這個。
d6｜七人硬幣的不相鄰
最多人錯在這算機率時把分母寫成「恰 3 人坐著的 35 種」。題目問的是對全樣本空間的機率。
和的變異數一定多一項，
除非它們不相關。
d6｜和的變異數
核心式
σz² ＝ σx² ＋ σy² ＋ 2 r σx σy
平移
y＋1000 ⇒ 變異數不變 ✔
伸縮
x → 2x ⇒ σ 變 2 倍，但相關係數不變（r 是無單位的標準化量）
上界
r ≦ 1 ⇒ σz² ≦ (σx＋σy)²，等號在 r＝1 時 ✔
最多人錯在這記成 Var(X＋Y) ＝ VarX ＋ VarY。那是獨立時才對，而散布圖明明白白是正相關。
f(1)＝0 不只給你一條式子 ——
它給你一個因式。
d7｜整數係數的夾擠反解
降參數
a＋b＋c＝0 ⇒ f(x) ＝ (x－1)(ax－c)
提因數
f(9) ＝ 8(9a－c)，f(8) ＝ 7(8a－c)
夾成整數
50<8(9a－c)<60 ⇒ 9a－c ＝ 7
60<7(8a－c)<70 ⇒ 8a－c ＝ 9
解係數
相減得 a＝－2 ⇒ c＝－25、b＝27，即 f(x)＝－2x²＋27x－25
最多人錯在這不分解直接代入 ⇒ 三個未知數只有兩道不等式，夾不出唯一解，然後卡死。
五個正方形，
只有四次縮小。
d5｜五個連續正方形
最多人錯在這數成 5 次方。而且那會得到帶根號的結果 —— 與「化為最簡分數」矛盾，你其實有機會自己抓到。
B 不相鄰把 A 夾到只剩兩種 ——
多數人只做了一種。
d6｜車廂配置
夾出 a
a＋b＝9、a≧2、b≧4 ⇒ a≦5；B 不相鄰 ⇒ b≦a＋1 ⇒ a≧4
情形一
a＝5, b＝4：5 個 A 有 6 個空隙選 4 ⇒ C64 ＝ 15
情形二
a＝4, b＝5：4 個 A 有 5 個空隙全放 ⇒ C55 ＝ 1（即 BABABABAB）
相加
15 ＋ 1 ＝ 16
最多人錯在這只做 a＝5 一種（因為 b≧4 讓人直覺 b 就是 4），漏掉 b＝5 ⇒ 少算 1 種。
✓ 已窮舉全部 29 ＝ 512 種排列驗證：合法者恰 16 種 —— A 佔 5 節的 15 種，加上 A 佔 4 節的唯一一種 BABABABAB。
弦越長，離圓心越近 ——
最大值在中間。
d6｜平行弦的最大三角形
最多人錯在這以為「弦越長面積越大」，把 L 取成直徑 —— 此時高為 0、面積為 0，矛盾卻沒察覺。
「距離相同」說的是斜邊，
不是水平距離。
d6｜攀岩的高度差
最多人錯在這讀成「水平距離相同」—— 那攝影師就沒有前進，題目自相矛盾。看到矛盾要回頭改讀法。
常數項寫成 －123×210，
就是在叫你換成 2 的冪。
d5｜全部換成 2 的冪
最多人錯在這把 4⁷ 算成 2⁷ 或 2²⁸。另外，用綜合除法硬除七次多項式做得完，但極易中途出錯。
你根本不需要知道
f(x) 長什麼樣子。
d7｜等比＋局部一次近似
關鍵
「圖形在 x＝q 附近近似於 y＝3x－32」⇒ 那條直線在 x＝q 的值等於 f(q)
列式
f(q) ＝ 3q － 32，而題給 f(q) ＝ －q
解 q
－q ＝ 3q － 32 ⇒ q ＝ 8
等比中項
q² ＝ pr ⇒ p × q × r ＝ (pr)·q ＝ q³ ＝ 8³
最多人錯在這想去求 f 的四個係數。條件只有兩個，永遠解不出 —— 但題目也不需要你解。
這一小題是鑰匙，
不是暖身。
d3｜這是鑰匙，不是暖身
最多人錯在這算完就翻頁。題組的前一小題幾乎永遠是後一小題的工具。
先把 2 提出來，
平方成 4。
d4｜偶數的平方和
最多人錯在這直接套公式而 n 取 30 —— 那算的是 1²＋2²＋⋯＋30²，把奇數項也算進去了。
第 18 題算過的那個根，
就是這題的答案。
d6｜整數解與唯一性
列式
m(m＋1)2 ＝ n(n＋1)(2n＋1)6
消元
代入 m ＝ 15－n，整理得 n³ ＋ 47n － 360 ＝ 0
引用 ①
第 18 題已驗 f(5)＝0 ⇒ (n－5)(n²＋5n＋72)＝0
唯一性
n²＋5n＋72 的判別式 25－288 < 0 無實根 ⇒ n＝5 唯一
最多人錯在這找到 n＝5 就收工。非選擇題要補一句「其餘因式無實根」才算完整，否則扣分。
常見問題
115 學年度 第二次學測模擬考（E2）數學的答案在哪裡？
本頁列出 20 題的答案與解法路徑（一題一張，含最多人錯的地方）。答案為御藍教育獨立撰寫並與官方答案總表逐格核對，未重製原試題。
115 學年度 第二次學測模擬考（E2）數學哪幾題最難？
依我們的十級難度尺，難度 d7 的是 第 11 題（整數係數的夾擠反解）、第 17 題（等比＋局部一次近似）——難的不在計算，在第一步的入口。其餘題目入口都看得見，差別只在有沒有踩到誘答。
模擬考數學考完怎麼檢討？
對答案前先把每題標〇（確定）、△（猜的）、✗（不會），只檢討 △ 和 ✗；再把錯題按單元與錯法（觀念、計算、格式、沒讀懂）分類；每個錯的單元練 8～10 題同技能的題，再回頭重做原題。