段考詳解範圍：相似形（連比、比例線段、平行線截比例線段、縮放與相似多邊形、相似三角形）

台北仁愛國中 112 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

選擇題 20 題（每題 4 分，共 80 分）、計算題 4 題（共 20 分）

一、選擇題（每題 4 分，共 80 分）

下列各組圖形中，哪一組圖形一定相似？

(A) 任意二個長方形
(B) 任意二個箏形
(C) 任意二個菱形
(D) 任意二個等腰直角三角形

如圖，

△ A B C

中，若

D

為

\overline{A B}

中點，且

\overline{D F} ∥ \overline{B C}

、

\overline{D E} ∥ \overline{A C}

，則下列何者錯誤？

(A) $F$ 、 $E$ 分別為 $\overline{A C}$ 、 $\overline{B C}$ 中點
(B) $\overline{E F} ∥ \overline{A B}$
(C) $△ A B C$ 周長為 $△ D E F$ 周長的 $2$ 倍
(D) $△ A D F$ 、 $△ B D E$ 、 $△ E F C$ 、 $△ D E F$ 四個三角形面積不相等

載入中...

如圖，已知圖中每個小方格均為正方形，若要使得

△ P R Q \sim △ A B C

，則

R

點須在那個位置上？

(A) 甲
(B) 乙
(C) 丙
(D) 丁

載入中...

已知

a : b : c = 2 : 3 : 4

，且

c = 10

，則

b

的值為何？

(A) $\frac{15}{2}$
(B) $\frac{15}{4}$
(C) $\frac{20}{3}$
(D) $\frac{40}{3}$

安安利用影印機將

A

圖縮放

40%

形成

B

圖，若新新欲將

B

圖放大回

A

圖的大小，則此時的縮放的倍率為多少？

(A) $180%$
(B) $200%$
(C) $250%$
(D) $400%$

如圖，已知

\overline{A B} = \overline{B D} = \overline{A C} = \overline{C E} = 36

、

\overline{D F} = \overline{E G} = 72

，且

\overline{F G} = 240

，則

\overline{B C}

的長度為何？

(A) $54$
(B) $60$
(C) $72$
(D) $80$

載入中...

已知

a : c = 2 : 3

，且

b : c = 3 : 4

，則

a : b : c

為何？

(A) $2 : 3 : 4$
(B) $6 : 8 : 9$
(C) $9 : 8 : 6$
(D) $8 : 9 : 12$

已知四邊形

A B C D

和四邊形

E F G H

相似，且部分的角度大小和邊長如圖所示，則下列何者一定正確？

(A) $\overline{E F} = 40$
(B) $\overline{E F} = 45$
(C) $\overline{G H} = 40$
(D) $\overline{G H} = 45$

載入中...

有甲、乙、丙三個正方形，若甲與乙的面積比為

2 : 3

，甲與丙的面積比為

4 : 25

，則有關甲、乙、丙的敘述何者正確？

(A) 甲、乙、丙的邊長比 $= 4 : 6 : 25$
(B) 甲、乙、丙的面積比 $= 4 : 9 : 25$
(C) 甲、乙、丙的周長比 $= 2 : 6 : 5$
(D) 甲、乙、丙三個正方形的面積和 $= 38$

如圖，平行四邊形

A B C D

中，

E

、

F

將

\overline{B C}

三等分，

G

、

H

、

I

將

\overline{A D}

四等分，則

△ H B F

面積：

△ E G I

面積為何？

(A) $3 : 4$
(B) $4 : 3$
(C) $9 : 16$
(D) $16 : 9$

載入中...

如圖，

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 7

，若

\overline{D F}

比

\overline{D E}

的

3

倍少

1

，則

\overline{D E}

長度為何？

(A) $\frac{5}{3}$
(B) $\frac{5}{8}$
(C) $\frac{5}{2}$
(D) $5$

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

點、

E

點分別在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，且

∠ B = ∠ A E D

，若

\overline{A D} = 3

、

\overline{B D} = 5

、

\overline{A E} = 4

，則下列何者正確？

(A) $\overline{A D} : \overline{B D} = \overline{A E} : \overline{E C}$
(B) $\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{A E} : \overline{A C}$
(C) $△ A B C \sim △ A D E$ （ $S A S$ 相似性質）
(D) $\overline{A C} = 6$

載入中...

已知直角三角形的周長為

36

公分，且三邊長比例為

3 : 4 : 5

，則其面積為何？

(A) $48$
(B) $54$
(C) $96$
(D) $108$

如圖，

△ A B F

中，

\overline{A C} = \overline{C D} = \overline{D E} = \overline{E F} = 20

，小雲要在

\overline{A F}

上找一點

G

，作

\overline{GP} ∥ \overline{B F}

且

\overline{GP}

交

\overline{A B}

於

P

點，使得

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 3

，則

G

點位置應落在下列哪一線段上？

(A) $\overline{A C}$
(B) $\overline{C D}$
(C) $\overline{D E}$
(D) $\overline{E F}$

載入中...

若

x : y : z = 9 : 3 : 4

，判斷下列何者不正確？

(A) $4 x = 3 y = 9 z$
(B) $\frac{x}{9} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$
(C) $(x + y) : (y + z) : (z + x) = 12 : 7 : 13$
(D) 若 $x + y + z = 48$ ，則 $z = 12$

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，且

\overline{A F} = 4

、

\overline{F D} = 6

，則下列敘述何者正確？

(A) $\overline{A E} : \overline{E C}$ 的比值 $= \frac{2}{5}$
(B) $\overline{D E} : \overline{B C} = 2 : 3$
(C) $\overline{A D} : \overline{D B} = 2 : 3$
(D) $\overline{B D}$ 的長度 $= 10$

載入中...

△ A B C

和

△ P QR

中，若已知

∠ A = 8 0^{\circ}

，

∠ B = ∠ Q = 4 0^{\circ}

，且

\overline{A B} = 10

、

\overline{B C} = 14

、

\overline{A C} = 6

、

\overline{P Q} = 5

，則在

△ P QR

中加上下列哪個條件後，不一定能說明

△ A B C \sim △ P QR

？

(A) $∠ R = 6 0^{\circ}$
(B) $∠ P = 8 0^{\circ}$
(C) $\overline{P R} = 3$
(D) $\overline{QR} = 7$

如圖，梯形

A B C D

中，

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，且

\overline{A C}

和

\overline{B D}

相交於

P

點，已知

\overline{A D} = 8

、

\overline{B C} = 9

，則下列敘述何者錯誤？

(A) $△ A D P$ 與 $△ C B P$ 相似
(B) $△ A D P$ 面積： $△ A P B$ 面積 $= 8 : 9$
(C) $△ A P B$ 面積： $△ P B C$ 面積 $= 8 : 9$
(D) $△ A D P$ 面積： $△ P B C$ 面積 $= 8 : 9$

載入中...

有三種積木，同形狀的每一種重量相等，今將此三種積木以不同的數量放在等臂天平兩邊的秤盤上，使天平皆保平衡，如圖所示。則 ○、□、△ 每一個的重量比

=

？

(A) $4 : 6 : 3$
(B) $4 : 2 : 3$
(C) $3 : 2 : 4$
(D) $1 : 3 : 5$

載入中...

如圖，

\overline{A D}

與

\overline{B C}

交於

E

，

\overline{A E} = 6

，

\overline{B E} = 12

，

\overline{C E} = 9

，

\overline{D E} = 18

，

\overline{A B} = 14

，則

\overline{C D} =

？

(A) $42$
(B) $21$
(C) $24$
(D) $28$

載入中...

二、計算題（共 20 分；各題配分標在題末）（第 21～24 題依序為原卷計算題第 1～4 題）

如圖，有個長

30

公分、寬

20

公分的長方形，若上下各減

3

公分，則左右需各減幾公分，所得的長方形才會是原長方形的縮小圖？且頂點

A

、

B

、

C

、

D

對應頂點

E

、

F

、

G

、

H

。（4 分）

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，若

∠ A = 7 0^{\circ}

，

∠ B = 8 0^{\circ}

，若

\overline{A B} = 6

、

\overline{B C} = 7

、

\overline{A C} = 8

，則　(1)

∠ A E D =

？（3 分）　(2)

△ A D E

的周長為何？（3 分）

載入中...

如圖，

△ A B C

中，若

\overline{C D}

平分

∠ A C B

，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，且

\overline{B C} = 12

、

\overline{A C} = 8

，則

\overline{D E} =

？（4 分）

載入中...

小明用咖啡、紅茶、牛奶三種原料，調配了一杯

300

c.c. 的鴛鴦奶茶，咖啡、紅茶、牛奶的用量比例是

1 : 2 : 3

；但在調製完成後，小明才發現三種原料的正確比例是

3 : 4 : 5

。於是小明計畫在調好的鴛鴦奶茶中多加入適量的咖啡、紅茶和牛奶（可以不加），以調整成正確比例，且他希望三種原料的用量要盡可能地少。請根據以上敘述回答下列問題，並詳細解釋或完整寫出你的解題過程：　(1) 小明一開始用了咖啡、紅茶、牛奶各多少 c.c.？　(2) 請問至少要加入咖啡、紅茶、牛奶各多少 c.c. 才可以把飲料調整成正確的比例？（各 3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(B)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(C)

第 10 題(B)

第 11 題(A)

第 12 題(D)

第 13 題(B)

第 14 題(B)

第 15 題(A)

第 16 題(C)

第 17 題(C)

第 18 題(D)

第 19 題(A)

第 20 題(B)

第 21 題

4.5

公分

第 22 題(1)

3 0^{\circ}

　(2)

10.5

第 23 題

4.8

第 24 題(1) 咖啡

50

c.c.、紅茶

100

c.c.、牛奶

150

c.c.　(2) 咖啡

40

c.c.、紅茶

20

c.c.、牛奶

0

c.c.

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：相似圖形的判斷、三邊中點、方格上的相似、連比

第 1 題答案 (D)。兩個多邊形相似，要「對應角相等」而且「對應邊成比例」，兩個條件都要成立。(A) 長方形的角都是

9 0^{\circ}

，但長和寬的比可以不同（例如

1 \times 2

和

1 \times 3

），不一定相似。(B) 箏形的角和邊的比都可以不同，不一定相似。(C) 菱形四邊等長，邊成比例，但角可以不同（例如一個內角

6 0^{\circ}

、另一個內角

8 0^{\circ}

），不一定相似。(D) 等腰直角三角形的三個角一定是

4 5^{\circ}

、

4 5^{\circ}

、

9 0^{\circ}

，任意兩個的對應角都相等（

AA

相似），一定相似。

第 2 題答案 (D)。(A)

△ A B C

中，

D

是

\overline{A B}

中點。

\overline{D F} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A F} : \overline{F C} = \overline{A D} : \overline{D B} = 1 : 1

，

F

是

\overline{A C}

中點。

\overline{D E} ∥ \overline{A C}

，所以

\overline{B E} : \overline{E C} = \overline{B D} : \overline{D A} = 1 : 1

，

E

是

\overline{B C}

中點。正確。(B)

E

、

F

是

\overline{B C}

、

\overline{A C}

的中點，三角形兩邊中點的連線平行第三邊，所以

\overline{E F} ∥ \overline{A B}

。正確。(C) 兩邊中點的連線長度是第三邊的一半：

\overline{D F} = \frac{1}{2} \overline{B C}

、

\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{A C}

、

\overline{E F} = \frac{1}{2} \overline{A B}

。三式相加，

△ D E F

周長是

△ A B C

周長的一半。正確。(D) 四個小三角形的三邊長都是

\frac{1}{2} \overline{A B}

、

\frac{1}{2} \overline{B C}

、

\frac{1}{2} \overline{A C}

，所以四個三角形全等（

S S S

），面積相等。(D) 說「不相等」，錯誤。

三邊中點連線把三角形分成四個全等的小三角形，每個面積是原三角形的

\frac{1}{4}

。

第 3 題答案 (C)。先看對應頂點：

△ P R Q \sim △ A B C

，所以

P

對

A

、

R

對

B

、

Q

對

C

。在方格上數格子：從

A

到

C

是「向右

4

格、向下

2

格」；從

P

到

Q

是「向右

6

格、向下

3

格」。向右的格數

6 : 4 = 3 : 2

，向下的格數

3 : 2

，兩個比相同，所以

\overline{P Q}

與

\overline{A C}

方向相同，而且

\overline{P Q}

是

\overline{A C}

的

\frac{3}{2}

倍。從

A

到

B

是「向右

2

格、向上

2

格」，放大

\frac{3}{2}

倍，從

P

到

R

應該是「向右

3

格、向上

3

格」。圖中從

P

向右

3

格、向上

3

格的點是丙。

檢查：這時從

R

到

Q

是「向右

3

格、向下

6

格」，從

B

到

C

是「向右

2

格、向下

4

格」，也是

\frac{3}{2}

倍。三邊都成

3 : 2

，

△ P R Q \sim △ A B C

（

S S S

相似）。

第 4 題答案 (A)。設

a = 2 k

、

b = 3 k

、

c = 4 k

。

c = 10

，所以

4 k = 10

，

k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

。

b = 3 k = 3 \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2}

。

寫相似時頂點的順序就是對應的順序；先把對應頂點配好，再去比邊。

02第 5～8 題：縮放倍率、平行線與長度、連比、相似四邊形

第 5 題答案 (C)。縮放

40%

表示

B

圖的長度是

A

圖的

0.4

倍。設

A

圖某一邊長是

100

，則

B

圖對應邊長是

100 \times 0.4 = 40

。要從

40

放大回

100

，倍率是

100 \div 40 = 2.5

倍，就是

250%

。

放大回去的倍率是

0.4

的倒數：

1 \div 0.4 = 2.5

，不是

100% + 60%

，也不是

40%

的

10

倍。

第 6 題答案 (B)。先算整段：

\overline{A F} = \overline{A B} + \overline{B D} + \overline{D F} = 36 + 36 + 72 = 144

，同樣

\overline{A G} = 36 + 36 + 72 = 144

。在

△ A B C

與

△ A F G

中，

∠ A

是共用角，

\overline{A B} : \overline{A F} = 36 : 144 = 1 : 4

，

\overline{A C} : \overline{A G} = 36 : 144 = 1 : 4

。兩邊成比例且夾角相等，

△ A B C \sim △ A F G

（

S A S

相似）。對應邊成比例：

\overline{B C} : \overline{F G} = 1 : 4

。

\overline{B C} = 240 \times \frac{1}{4} = 60

。

\overline{B C}

與

\overline{F G}

的比要用「從

A

量起」的

\overline{A B} : \overline{A F} = 1 : 4

，不是

\overline{A B} : \overline{B D}

或

\overline{A B} : \overline{D F}

。

第 7 題答案 (D)。兩個比都有

c

，先把

c

變成一樣。

3

和

4

的最小公倍數是

12

。

a : c = 2 : 3 = 8 : 12

（同乘

4

）。

b : c = 3 : 4 = 9 : 12

（同乘

3

）。所以

a : b : c = 8 : 9 : 12

。

第 8 題答案 (D)。先求

∠ A

：四邊形內角和是

36 0^{\circ}

，

∠ A = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

。相似多邊形的對應角相等。四邊形

E F G H

中

∠ F = 9 0^{\circ}

、

∠ G = 6 0^{\circ}

；四邊形

A B C D

中只有

∠ C

是

9 0^{\circ}

、只有

∠ B

是

6 0^{\circ}

。所以

F

對應

C

，

G

對應

B

。再往下一個頂點看：

B

的另一個鄰點是

A

，

G

的另一個鄰點是

H

，所以

H

對應

A

；剩下的

E

對應

D

。對應邊：

\overline{E H}

對應

\overline{D A}

，

\overline{G H}

對應

\overline{B A}

，

\overline{E F}

對應

\overline{D C}

。

\overline{D A} : \overline{E H} = 20 : 30 = 2 : 3

。所以

\overline{B A} : \overline{G H} = 2 : 3

，

30 : \overline{G H} = 2 : 3

，

2 \times \overline{G H} = 90

，

\overline{G H} = 45

。

這題的對應頂點不是照字母順序（

∠ B = 6 0^{\circ}

而

∠ F = 9 0^{\circ}

，

B

不對應

F

），要用角度來配。

\overline{E F}

對應的

\overline{D C}

圖上沒有標長度，不能由已知的邊直接算出 (A)(B)。

相似多邊形先用相等的角把對應頂點配好，對應邊才不會配錯。

03第 9～12 題：面積比與邊長比、等高三角形、平行線截比例線段、共用角的相似

第 9 題答案 (C)。先合成面積的連比，把甲變成一樣：甲：乙

= 2 : 3 = 4 : 6

，甲：丙

= 4 : 25

。所以甲、乙、丙的面積比是

4 : 6 : 25

，(B) 錯。正方形面積

=

邊長的平方，邊長是面積的正平方根，所以邊長比是

4 : 6 : 25 = 2 : 6 : 5

，(A) 錯。正方形周長

= 4 \times

邊長，周長比和邊長比相同，也是

2 : 6 : 5

，(C) 正確。(D) 題目只給「比」，沒有給實際的面積，面積和無法確定，(D) 錯。

(A) 的

4 : 6 : 25

是面積比，不是邊長比。

第 10 題答案 (B)。平行四邊形中

\overline{B C} ∥ \overline{A D}

且

\overline{B C} = \overline{A D}

。

△ H B F

的底

\overline{B F}

在上邊、頂點

H

在下邊；

△ E G I

的底

\overline{G I}

在下邊、頂點

E

在上邊。兩個三角形的高都是兩條平行邊之間的距離，高相等，所以面積比

=

底的比。設

\overline{B C} = \overline{A D} = 12 k

。

E

、

F

三等分

\overline{B C}

，每段

4 k

，

\overline{B F} = 8 k

。

G

、

H

、

I

四等分

\overline{A D}

，每段

3 k

，

\overline{G I} = 6 k

。面積比

= 8 k : 6 k = 4 : 3

。

第 11 題答案 (A)。設

\overline{D E} = x

，則

\overline{D F} = 3 x - 1

，

\overline{E F} = \overline{D F} - \overline{D E} = (3 x - 1) - x = 2 x - 1

。因為

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，平行線截比例線段，

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{D E} : \overline{E F}

。

5 : 7 = x : (2 x - 1)

。

7 x = 5 (2 x - 1)

，

7 x = 10 x - 5

，

3 x = 5

，

x = \frac{5}{3}

。

驗算：

\overline{D F} = 3 \times \frac{5}{3} - 1 = 4

，

\overline{E F} = 4 - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}

，

\overline{D E} : \overline{E F} = \frac{5}{3} : \frac{7}{3} = 5 : 7

，相符。

5 : 7

對應的是

\overline{D E} : \overline{E F}

，不是

\overline{D E} : \overline{D F}

。

第 12 題答案 (D)。在

△ A B C

與

△ A E D

中，

∠ A

是共用角，

∠ B = ∠ A E D

，所以

△ A B C \sim △ A E D

（

AA

相似）。對應頂點是

A

對

A

、

B

對

E

、

C

對

D

。對應邊成比例：

\overline{A B} : \overline{A E} = \overline{A C} : \overline{A D}

。

\overline{A B} = \overline{A D} + \overline{B D} = 3 + 5 = 8

。

8 : 4 = \overline{A C} : 3

，

4 \times \overline{A C} = 24

，

\overline{A C} = 6

，(D) 正確。其他選項：

\overline{E C} = \overline{A C} - \overline{A E} = 6 - 4 = 2

。(A)

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 5

，

\overline{A E} : \overline{E C} = 4 : 2 = 2 : 1

，不相等。(B)

\overline{A D} : \overline{A B} = 3 : 8

，

\overline{A E} : \overline{A C} = 4 : 6 = 2 : 3

，不相等。(C) 相似的對應順序應該是

△ A B C \sim △ A E D

，用的是

AA

相似，(C) 的寫法不對。

\overline{D E}

沒有平行

\overline{B C}

，所以不能用「平行線截比例線段」；

∠ B

對應的是

∠ A E D

，

B

要對

E

。

面積比是邊長比的平方；等高的三角形面積比等於底的比；沒有平行時，比例式要從相似的對應頂點來列。

04第 13～16 題：連比應用、平行線截比例線段

第 13 題答案 (B)。設三邊長是

3 k

、

4 k

、

5 k

公分。周長

3 k + 4 k + 5 k = 12 k = 36

，

k = 3

。三邊長是

9

、

12

、

15

公分。直角三角形最長的邊

15

是斜邊，兩股是

9

和

12

。面積

= \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54

（平方公分）。

面積要用兩股相乘，不能用到斜邊

15

。

第 14 題答案 (B)。在

△ A B F

中，

\overline{GP} ∥ \overline{B F}

，所以

\overline{A G} : \overline{GF} = \overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

。

\overline{A F} = 20 \times 4 = 80

。

\overline{A G} = 80 \times \frac{2}{2 + 3} = 80 \times \frac{2}{5} = 32

。從

A

量起：

C

在

20

的位置，

D

在

40

的位置。

32

在

20

和

40

之間，所以

G

在

\overline{C D}

上。

第 15 題答案 (A)。設

x = 9 k

、

y = 3 k

、

z = 4 k

（

k \neq = 0

）。(A)

4 x = 36 k

，

3 y = 9 k

，

9 z = 36 k

。

4 x \neq = 3 y

，所以 (A) 不正確。(B)

\frac{x}{9} = k

，

\frac{y}{3} = k

，

\frac{z}{4} = k

，三個相等，正確。(C)

x + y = 12 k

，

y + z = 7 k

，

z + x = 13 k

，比是

12 : 7 : 13

，正確。(D)

x + y + z = 16 k = 48

，

k = 3

，

z = 4 \times 3 = 12

，正確。

x : y : z = 9 : 3 : 4

寫成等式是

\frac{x}{9} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}

，不是

9 x = 3 y = 4 z

，也不是

4 x = 3 y = 9 z

。

第 16 題答案 (C)。在

△ A D C

中，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，所以

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A F} : \overline{F D} = 4 : 6 = 2 : 3

。(A) 比值是

\frac{2}{3}

，不是

\frac{2}{5}

，錯。在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C} = 2 : 3

，(C) 正確。

\overline{A D} = \overline{A F} + \overline{F D} = 4 + 6 = 10

，

10 : \overline{D B} = 2 : 3

，

2 \times \overline{D B} = 30

，

\overline{D B} = 15

，(D) 錯。

△ A D E \sim △ A B C

（

∠ A

共用，

∠ A D E = ∠ A B C

是同位角，

AA

相似），

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A D} : \overline{A B} = 10 : 25 = 2 : 5

，(B) 錯。

同一個比

\overline{A E} : \overline{E C}

用了兩次：先在

△ A D C

裡由

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

求出，再在

△ A B C

裡由

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

傳到

\overline{A B}

上。

平行線把兩邊截成的「段與段」的比相等；平行線本身長度的比，要用「從頂點量起」的長度。

05第 17～20 題：相似的判別、梯形對角線、天平與連比、對頂角的相似

第 17 題答案 (C)。先求

∠ C = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。已知

∠ B = ∠ Q

，所以

B

對

Q

；要說明

△ A B C \sim △ P QR

，就是

A

對

P

、

C

對

R

。(A)

∠ R = 6 0^{\circ} = ∠ C

，加上

∠ Q = ∠ B

，兩組角相等，

AA

相似，可以。(B)

∠ P = 8 0^{\circ} = ∠ A

，加上

∠ Q = ∠ B

，

AA

相似，可以。(D)

\overline{A B} : \overline{P Q} = 10 : 5 = 2 : 1

，

\overline{B C} : \overline{QR} = 14 : 7 = 2 : 1

，這兩組邊的夾角正好是

∠ B

和

∠ Q

，相等，

S A S

相似，可以。(C)

\overline{A B} : \overline{P Q} = 10 : 5 = 2 : 1

，

\overline{A C} : \overline{P R} = 6 : 3 = 2 : 1

，兩組邊成比例，但這兩組邊的夾角是

∠ A

和

∠ P

，題目知道相等的卻是

∠ B

和

∠ Q

，不是夾角，不符合

S A S

相似，所以不一定能說明相似。

S A S

相似的角一定要是兩組成比例的邊所「夾」的角。原卷給的三個邊長和三個角度其實湊不成同一個三角形（照邊長

10

、

14

、

6

去畫，

∠ A

不會是

8 0^{\circ}

），所以這題不要動手量或畫圖，只看每個選項給了哪些條件、符合哪一種相似判別。

第 18 題答案 (D)。(A)

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，

∠ D A P = ∠ B C P

（內錯角），

∠ A P D = ∠ C P B

（對頂角），所以

△ A D P \sim △ C B P

（

AA

相似），正確。對應邊成比例：

\overline{A P} : \overline{C P} = \overline{D P} : \overline{B P} = \overline{A D} : \overline{C B} = 8 : 9

。(B)

△ A D P

與

△ A P B

分別以

\overline{D P}

、

\overline{P B}

為底，兩個底在同一直線

\overline{B D}

上，頂點都是

A

，高相等。面積比

= \overline{D P} : \overline{P B} = 8 : 9

，正確。(C)

△ A P B

與

△ P B C

分別以

\overline{A P}

、

\overline{P C}

為底，頂點都是

B

，高相等。面積比

= \overline{A P} : \overline{P C} = 8 : 9

，正確。(D)

△ A D P

與

△ C B P

相似，對應邊的比是

8 : 9

，面積比是邊長比的平方：

8^{2} : 9^{2} = 64 : 81

，不是

8 : 9

，(D) 錯誤。

等高的兩個三角形，面積比等於底的比；相似的兩個三角形，面積比等於對應邊長比的平方。兩種情形不要混用。

第 19 題答案 (A)。上面的天平：左盤是

3

個○、

1

個□、

1

個△，右盤是

3

個□、

1

個△。兩邊各拿走

1

個□和

1

個△，仍然平衡：

3

個○

= 2

個□。下面的天平：左盤是

2

個□、

1

個△，右盤是

5

個△。兩邊各拿走

1

個△：

2

個□

= 4

個△，所以

1

個□

= 2

個△。設

1

個△的重量是

3

，則

1

個□是

6

。

3

個○

= 2

個□

= 12

，

1

個○是

4

。○：□：△

= 4 : 6 : 3

。

檢查：上面左盤

3 \times 4 + 6 + 3 = 21

，右盤

3 \times 6 + 3 = 21

；下面左盤

2 \times 6 + 3 = 15

，右盤

5 \times 3 = 15

。兩個天平都平衡。

第 20 題答案 (B)。看

△ A E B

與

△ C E D

。

∠ A E B = ∠ C E D

（對頂角）。夾這個角的兩邊：

\overline{A E} : \overline{C E} = 6 : 9 = 2 : 3

，

\overline{B E} : \overline{D E} = 12 : 18 = 2 : 3

。兩邊成比例且夾角相等，

△ A E B \sim △ C E D

（

S A S

相似）。對應邊成比例：

\overline{A B} : \overline{C D} = 2 : 3

。

14 : \overline{C D} = 2 : 3

，

2 \times \overline{C D} = 42

，

\overline{C D} = 21

。

對應頂點是

A

對

C

、

B

對

D

。如果配成

\overline{A E} : \overline{D E} = 6 : 18 = 1 : 3

和

\overline{B E} : \overline{C E} = 12 : 9 = 4 : 3

，兩個比不相等，那樣配不成立。

用 SAS 相似時，先確認相等的角是不是夾在兩組成比例的邊中間，並試不同的對應方式看哪一種比才相等。

06計算題 1～4（第 21～24 題）

第 21 題原長方形

A B C D

的長

\overline{A D} = 30

、寬

\overline{A B} = 20

。上下各減

3

公分，新長方形的寬

\overline{E F} = 20 - 3 - 3 = 14

。設左右各減

x

公分，新長方形的長

\overline{E H} = 30 - 2 x

。新長方形是原長方形的縮小圖，而且

A

、

B

、

C

、

D

對應

E

、

F

、

G

、

H

，所以對應邊成比例：

\overline{E F} : \overline{A B} = \overline{E H} : \overline{A D}

。

14 : 20 = (30 - 2 x) : 30

。

20 (30 - 2 x) = 14 \times 30 = 420

，

30 - 2 x = 21

，

2 x = 9

，

x = 4.5

。答：左右需各減

4.5

公分。

驗算：新長方形是

21 \times 14

，

21 : 14 = 3 : 2

，原長方形

30 : 20 = 3 : 2

，相符。上下各減

3

，左右不是也減

3

；要讓長和寬縮成相同的倍數（這裡是

\frac{14}{20} = 0.7

倍）。

第 22 題(1) 三角形內角和是

18 0^{\circ}

，

∠ C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

。

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，三角形兩邊中點的連線平行第三邊，所以

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

。

∠ A E D

與

∠ C

是同位角，

∠ A E D = ∠ C = 3 0^{\circ}

。　(2)

\overline{A D} = \frac{1}{2} \overline{A B} = 3

，

\overline{A E} = \frac{1}{2} \overline{A C} = 4

。兩邊中點連線的長度是第三邊的一半，

\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{B C} = 3.5

。

△ A D E

的周長

= 3 + 4 + 3.5 = 10.5

。

∠ A E D

對應的是

∠ C

（

3 0^{\circ}

），

∠ A D E

對應的才是

∠ B

（

8 0^{\circ}

）。(2) 也可以直接用原三角形周長的一半：

(6 + 7 + 8) \div 2 = 10.5

。原卷的角度和邊長是兩組各自給的數字，湊不成同一個三角形（三邊

6

、

7

、

8

的三角形，角不會是

7 0^{\circ}

、

8 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

）；(1) 只用角度、(2) 只用邊長，各算各的就好。

第 23 題

\overline{C D}

平分

∠ A C B

，所以

∠ E C D = ∠ D C B

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

∠ E D C = ∠ D C B

（內錯角）。因此

∠ E D C = ∠ E C D

，

△ E D C

是等腰三角形，

\overline{D E} = \overline{E C}

。設

\overline{D E} = x

，則

\overline{E C} = x

，

\overline{A E} = \overline{A C} - \overline{E C} = 8 - x

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

△ A D E \sim △ A B C

（

∠ A

共用，

∠ A E D = ∠ A C B

是同位角，

AA

相似）。對應邊成比例：

\overline{A E} : \overline{A C} = \overline{D E} : \overline{B C}

。

(8 - x) : 8 = x : 12

。

8 x = 12 (8 - x)

，

8 x = 96 - 12 x

，

20 x = 96

，

x = 4.8

。答：

\overline{D E} = 4.8

。

驗算：

\overline{A E} = 8 - 4.8 = 3.2

，

3.2 : 8 = 2 : 5

，

4.8 : 12 = 2 : 5

，相符。角平分線加上平行線，會出現一個等腰三角形。

第 24 題(1) 用量比例

1 : 2 : 3

，設咖啡

k

、紅茶

2 k

、牛奶

3 k

c.c.。

k + 2 k + 3 k = 6 k = 300

，

k = 50

。咖啡

50

c.c.、紅茶

100

c.c.、牛奶

150

c.c.。　(2) 設調整後咖啡

3 t

、紅茶

4 t

、牛奶

5 t

c.c.。只能再加、不能倒掉，所以調整後每一種都不能比原來少：

3 t \geq 50

、

4 t \geq 100

、

5 t \geq 150

。分別得到

t \geq \frac{50}{3}

、

t \geq 25

、

t \geq 30

。三個都要成立，所以

t \geq 30

。要加得最少，取

t = 30

。調整後咖啡

90

、紅茶

120

、牛奶

150

c.c.。要加入：咖啡

90 - 50 = 40

c.c.，紅茶

120 - 100 = 20

c.c.，牛奶

150 - 150 = 0

c.c.（不用加）。

三種原料裡，牛奶「現有的量 ÷ 正確比例的份數」最大（

150 \div 5 = 30

，紅茶

100 \div 4 = 25

，咖啡

50 \div 3

不到

17

），所以牛奶不用加，其他兩種以牛奶為基準補上去。驗算：

90 : 120 : 150 = 3 : 4 : 5

。

縮小圖要長和寬縮成相同的倍數；連比的應用題先設成「幾份 × 一份的量」，再看題目的限制決定一份是多少。

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選擇第 8 題兩個四邊形的對應頂點不是照字母順序，要先用 60 度和 90 度的角配對再比邊；選擇第 17 題要分清楚相等的角是不是兩組成比例邊的夾角；選擇第 18 題等高三角形的面積比是底的比，相似三角形的面積比是邊長比的平方，兩種不能混用；計算題第 4 題只能加不能減，要找出哪一種原料不用加。詳解逐題寫在本頁。

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02第 5～8 題：縮放倍率、平行線與長度、連比、相似四邊形

03第 9～12 題：面積比與邊長比、等高三角形、平行線截比例線段、共用角的相似

04第 13～16 題：連比應用、平行線截比例線段

05第 17～20 題：相似的判別、梯形對角線、天平與連比、對頂角的相似

06計算題 1～4（第 21～24 題）

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國三第一次段考
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