段考詳解範圍：乘法公式與多項式、平方根(乘法公式、多項式的加減、多項式的乘法與除法、平方根的意義、十分逼近法與根號的大小比較)

台北仁愛國中 112 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

選擇題 21 題（每題 4 分，共 84 分）、計算題 3 題（依序 5 分、5 分、6 分，共 16 分）

一、選擇題：（每題 4 分，21 題，共 84 分）

試問下列選項中何者計算的值和

50. 5^{2} - 49. 5^{2}

相同？

(A) $50. 5^{2} + 2 \times 50.5 \times 49.5 + 49. 5^{2}$
(B) $50. 5^{2} - 2 \times 50.5 \times 49.5 + 49. 5^{2}$
(C) $(50 + 0.5) (50 - 0.5)$
(D) $(50.5 + 49.5) (50.5 - 49.5)$

（甲）

2 x^{2} + x + 1

　（乙）

3 x^{2} - 3 = 0

　（丙）

5

　（丁）

5^{2} x + 2

　（戊）

∣2 x - 1∣ + 3

　（己）

\frac{2}{x - 2}

，請問上述選項中有幾個為

x

的多項式？

(A) $5$
(B) $4$
(C) $3$
(D) $2$

已知

(a x^{2} - 3 x + 2) - (- 2 x^{2} + b x - 5)

為零次多項式，則

a + b =

？

(A) $- 5$
(B) $- 1$
(C) $1$
(D) $5$

已知

A

為一多項式，且

(2 x^{2} - 3 x + 7) - A = 5 x^{2} + x - 3

，則多項式

A =

？

(A) $7 x^{2} - 2 x + 4$
(B) $- 3 x^{2} - 4 x + 10$
(C) $- 3 x^{2} + 2 x + 4$
(D) $3 x^{2} + 4 x - 10$

計算多項式

(3 x + 2)^{2} - (- 2 x + 3)^{2}

，與下列何者相同？

(A) $(x + 5) (x - 1)$
(B) $(x - 5) (5 x + 1)$
(C) $(5 x - 1) (x - 5)$
(D) $(5 x - 1) (x + 5)$

關於根式的敘述，下列何者正確？

(A) $- 3$ 為 $- 9$ 的負平方根
(B) $36 \frac{16}{25} = 6 \frac{4}{5}$
(C) $(- \frac{1}{49})^{2} = \frac{1}{7}$
(D) $0.25 = 0.5$

計算

6 \frac{1}{4} - 0.81 + 4 \times 3^{2} \times 5^{4} - 1089

之值為下列何者？

(A) $120.4$
(B) $119.59$
(C) $118.6$
(D) $119.25$

小天想利用十分逼近法求出

38

，請幫小天將他的過程補上正確的數字，　(1) 因為

5^{2} = 25

，

6^{2} = 36

，

7^{2} = 49

，所以 ____(1)____

< 38 <

____(2)____　(2) 因為

6. 1^{2} = 37.21

，

6. 2^{2} = 38.44

，

6. 3^{2} = 39.69

，所以 ____(3)____

< 38 <

____(4)____　(3) 因為

6.0 5^{2} = 36.6025

，

6.1 5^{2} = 37.8225

，所以用四捨五入法求

38

的近似值到小數點後第一位，得

38 ≒

____(5)____　請問 (1)～(5) 填入的數字，依序為下列哪個選項？

(A) $6$ 、 $7$ 、 $6.1$ 、 $6.2$ 、 $6.2$
(B) $6$ 、 $7$ 、 $6.1$ 、 $6.2$ 、 $6.1$
(C) $6$ 、 $7$ 、 $6.0$ 、 $6.1$ 、 $6.1$
(D) $6$ 、 $7$ 、 $6.0$ 、 $6.1$ 、 $6.0$

已知

39 \frac{3}{5} \times 9 \frac{3}{8}

之值為

a - b

，其中

a

為正整數，

0 < b < 1

，則

a

之值為下列何者？

(A) $370$
(B) $371$
(C) $372$
(D) $373$

計算

\frac{78 3 ^{2} + 34 \times 783 + 1 7 ^{2}}{40 3 ^{2} - 806 \times 3 + 9} =

？

(A) $2$
(B) $4$
(C) $8$
(D) $16$

若

199. 5^{2} = 20 0^{2} - A

，則

A =

？

(A) $99.75$
(B) $100.25$
(C) $199.75$
(D) $200.25$

化簡

\frac{x ^{2} - x + 3}{2} - \frac{2 x - 5}{3} =

？

(A) $3 x^{2} - 7 x + 19$
(B) $3 x^{2} - 7 x - 1$
(C) $\frac{3 x ^{2} - 7 x + 19}{6}$
(D) $\frac{3 x ^{2} - 7 x - 1}{6}$

附圖為家瑩利用直式計算兩多項式相減的過程，則

a - b + c

之值為下列何者？

(A) $- 2$
(B) $- 6$
(C) $- 8$
(D) $8$

載入中...

判斷下列等式，哪一個等式是錯誤的？

(A) $(- 3 x - 2) (- 3 x + 2) = (3 x)^{2} - 2^{2}$
(B) $(- 3 x + 2)^{2} = (3 x - 2)^{2}$
(C) $- (3 x + 2)^{2} = (- 3 x - 2)^{2}$
(D) $- (3 x)^{2} + 2^{2} = (2 - 3 x) (2 + 3 x)$

化簡

(- 1 + 3 x)^{2} \times (- 1 - 3 x)^{2} =

？

(A) $1 + 6 x^{2} + 9 x^{4}$
(B) $1 - 6 x^{2} + 9 x^{4}$
(C) $1 + 18 x^{2} + 81 x^{4}$
(D) $1 - 18 x^{2} + 81 x^{4}$

已知

A

為多項式，且

\frac{6 x ^{2} + 11 x - 27}{A} = 2 x + 7 + \frac{8}{A}

，則多項式

A

為下列何者？

(A) $3 x + 5$
(B) $3 x - 5$
(C) $3 x + 16$
(D) $3 x + \frac{11}{2}$

已知

a = \frac{5}{2}

，

b = \frac{5}{2}

，

c = \frac{5}{2}

，

d = \frac{5}{2}

，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係，下列何者正確？

(A) $b > c > d > a$
(B) $c > b > d > a$
(C) $b > c > a > d$
(D) $c > a > d > b$

若

x - y

為

169

的負平方根，

4

為

2 x + 5 y

的正平方根，則

x + y =

？

(A) $- 1$
(B) $- 5$
(C) $- \frac{10}{7}$
(D) $- \frac{38}{7}$

利用乘法公式計算

9990 2^{2} - 8880 7^{2} + 3330 8^{2}

之值的十位數字為下列何者？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

將一多項式

- 3 (2 x - 1)^{2} + 5

除以

(2 x - 1)

，並將其商式和餘式相加為何？

(A) $- 6 x + 2$
(B) $- 6 x + 4$
(C) $- 6 x + 6$
(D) $- 6 x + 8$

已知正整數

K

在

2^{2} \times 3^{2} \times 5^{4}

和

2^{4} \times 5^{2} \times 7^{4}

之間，則滿足

K

為正整數的

K

值有幾個？

(A) $18$
(B) $19$
(C) $830$
(D) $831$

二、計算題：（3 題，共 16 分）（第 22～24 題，原卷計算題 1～3）

利用直式求出

(6 x^{2} - 4 x + 1) \div (2 x + 1)

的商式及餘式。（5 分）

已知

280 ≒ 16.7332

，若

a

、

b

皆為正整數，且

280 + a

、

280 \times b

的值也都是正整數，則

a

、

b

的最小值各為多少？（5 分）

附圖為一個長方形，回答下列問題：　(1) 以

x

的多項式表示灰色區域的面積。（4 分）　(2) 若

x = \frac{3}{2}

，求灰色區域的面積。（2 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(D)

第 7 題(C)

第 8 題(A)

第 9 題(C)

第 10 題(B)

第 11 題(C)

第 12 題(C)

第 13 題(A)

第 14 題(C)

第 15 題(D)

第 16 題(B)

第 17 題(B)

第 18 題(A)

第 19 題(A)

第 20 題(D)

第 21 題(B)

第 22 題商式

3 x - \frac{7}{2}

，餘式

\frac{9}{2}

第 23 題

a = 9

，

b = 70

第 24 題(1)

\frac{9}{2} x + \frac{35}{2}

（也可以寫成

\frac{9 x + 35}{2}

）　(2)

\frac{97}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～5 題：平方差公式、多項式的意義與加減

第 1 題答案 (D)。平方差公式是

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

。這裡

a = 50.5

、

b = 49.5

，所以

50. 5^{2} - 49. 5^{2} = (50.5 + 49.5) (50.5 - 49.5)

，就是 (D)。它的值是

100 \times 1 = 100

。(A) 是

(50.5 + 49.5)^{2} = 10 0^{2} = 10000

。(B) 是

(50.5 - 49.5)^{2} = 1^{2} = 1

。(C) 是

5 0^{2} - 0. 5^{2} = 2500 - 0.25 = 2499.75

。這三個都不是

100

。

第 2 題答案 (C)。

x

的多項式是由「數乘以

x

的

0

次、

1

次、

2

次……」這種項加減而成的式子；

x

不可以在分母、不可以在絕對值裡面，式子也不可以有等號。（甲）

2 x^{2} + x + 1

是多項式。（乙）

3 x^{2} - 3 = 0

有等號，是方程式，不是多項式。（丙）

5

是常數多項式，是多項式。（丁）

5^{2} x + 2 = 25 x + 2

，是多項式。（戊）

∣2 x - 1∣ + 3

的絕對值裡面有

x

，不是多項式。（己）

\frac{2}{x - 2}

的分母有

x

，不是多項式。所以是多項式的有甲、丙、丁，共

3

個。

（丁）的

5^{2}

是係數

25

，平方是在數字

5

上，不是在

x

上，它仍然是多項式。

第 3 題答案 (A)。先去括號：

a x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - b x + 5

。合併同類項：

(a + 2) x^{2} + (- 3 - b) x + 7

。零次多項式是不等於

0

的常數，所以

x^{2}

項和

x

項的係數都要是

0

。

a + 2 = 0

，得

a = - 2

。

- 3 - b = 0

，得

b = - 3

。這時式子等於

7

，確實是零次多項式。

a + b = (- 2) + (- 3) = - 5

。

減去

(- 2 x^{2} + b x - 5)

時，括號裡三項都要變號。

第 4 題答案 (B)。

(2 x^{2} - 3 x + 7)

減去

A

等於

5 x^{2} + x - 3

，所以

A = (2 x^{2} - 3 x + 7) - (5 x^{2} + x - 3)

。去括號：

2 x^{2} - 3 x + 7 - 5 x^{2} - x + 3

。合併同類項：

x^{2}

項

2 x^{2} - 5 x^{2} = - 3 x^{2}

；

x

項

- 3 x - x = - 4 x

；常數項

7 + 3 = 10

。所以

A = - 3 x^{2} - 4 x + 10

。

驗算：

(2 x^{2} - 3 x + 7) - (- 3 x^{2} - 4 x + 10) = 2 x^{2} - 3 x + 7 + 3 x^{2} + 4 x - 10 = 5 x^{2} + x - 3

，與題目相同。

第 5 題答案 (D)。先把兩個平方展開。

(3 x + 2)^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4

。

(- 2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

。相減：

9 x^{2} + 12 x + 4 - 4 x^{2} + 12 x - 9 = 5 x^{2} + 24 x - 5

。再把選項展開來比對。(A)

(x + 5) (x - 1) = x^{2} + 4 x - 5

。(B)

(x - 5) (5 x + 1) = 5 x^{2} - 24 x - 5

。(C)

(5 x - 1) (x - 5) = 5 x^{2} - 26 x + 5

。(D)

(5 x - 1) (x + 5) = 5 x^{2} + 25 x - x - 5 = 5 x^{2} + 24 x - 5

。所以是 (D)。

也可以用平方差公式：把

3 x + 2

當成

a

、

- 2 x + 3

當成

b

，

a + b = x + 5

，

a - b = 3 x + 2 + 2 x - 3 = 5 x - 1

，所以原式

= (x + 5) (5 x - 1)

。

括號前面是減號，去括號時括號裡的每一項都要變號。

02第 6～9 題：平方根、十分逼近法、帶分數的計算

第 6 題答案 (D)。(A) 錯：任何數的平方都不會是負數，所以

- 9

沒有平方根。（

- 3

是

9

的負平方根。）(B) 錯：

36 \frac{16}{25} = \frac{916}{25}

，而

(6 \frac{4}{5})^{2} = (\frac{34}{5})^{2} = \frac{1156}{25}

，兩個不相等。(C) 錯：

(- \frac{1}{49})^{2} = (\frac{1}{49})^{2}

，所以

(- \frac{1}{49})^{2} = \frac{1}{49}

，不是

\frac{1}{7}

。(D) 對：

0. 5^{2} = 0.25

，而且

0.5

是正數，所以

0.25 = 0.5

。

(B) 帶分數要先化成假分數再開根號，不能把整數部分和分數部分分開各自開根號。

第 7 題答案 (C)。四個根號分開算。第一個：

6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}

，

\frac{25}{4} = \frac{5}{2} = 2.5

。第二個：

0. 9^{2} = 0.81

，所以

0.81 = 0.9

。第三個：

4 \times 3^{2} \times 5^{4} = 2^{2} \times 3^{2} \times (5^{2})^{2} = (2 \times 3 \times 25)^{2} = 15 0^{2}

，所以

4 \times 3^{2} \times 5^{4} = 150

。第四個：

3 3^{2} = 1089

，所以

1089 = 33

。合起來：

2.5 - 0.9 + 150 - 33 = 118.6

。

1089

可以這樣找：

3 0^{2} = 900

、

4 0^{2} = 1600

，所以答案在

30

和

40

之間；個位數是

9

，試

33

或

37

，

3 3^{2} = 1089

。

第 8 題答案 (A)。第一步：

36 < 38 < 49

，也就是

6^{2} < 38 < 7^{2}

，所以

6 < 38 < 7

。(1) 填

6

、(2) 填

7

。第二步：

37.21 < 38 < 38.44

，也就是

6. 1^{2} < 38 < 6. 2^{2}

，所以

6.1 < 38 < 6.2

。(3) 填

6.1

、(4) 填

6.2

。第三步：要決定

38

比較靠近

6.1

還是

6.2

，就和正中間的

6.15

比。

6.1 5^{2} = 37.8225

，比

38

小，所以

38 > 6.15

。小數點後第二位四捨五入會進位，

38 ≒ 6.2

。(5) 填

6.2

。依序是

6

、

7

、

6.1

、

6.2

、

6.2

。

題目另外給的

6.0 5^{2} = 36.6025

這一步用不到；判斷四捨五入只要看

6.1 5^{2}

和

38

誰大。

第 9 題答案 (C)。先把帶分數化成假分數：

39 \frac{3}{5} = \frac{198}{5}

，

9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8}

。相乘：

\frac{198}{5} \times \frac{75}{8}

。

75

和

5

約分得

15

；

198

和

8

約分得

\frac{99}{4}

。所以乘積

= \frac{99 \times 15}{4} = \frac{1485}{4} = 371.25

。題目說這個值等於

a - b

，

a

是正整數，

b

在

0

和

1

之間。

371.25

要寫成「正整數減掉一個不到

1

的正數」，只能是

372 - 0.75

。所以

a = 372

，

b = 0.75

。

題目是

a - b

（減號），所以

a

是比

371.25

大的那個整數

372

，不是

371

。

k

表示

k

的正平方根；負數沒有平方根。

03第 10～13 題：乘法公式速算、多項式的加減

第 10 題答案 (B)。分子：

34 = 2 \times 17

，所以

78 3^{2} + 34 \times 783 + 1 7^{2} = 78 3^{2} + 2 \times 783 \times 17 + 1 7^{2} = (783 + 17)^{2} = 80 0^{2}

。分母：

806 \times 3 = 2 \times 403 \times 3

，

9 = 3^{2}

，所以

40 3^{2} - 806 \times 3 + 9 = 40 3^{2} - 2 \times 403 \times 3 + 3^{2} = (403 - 3)^{2} = 40 0^{2}

。原式

= \frac{80 0 ^{2}}{40 0 ^{2}} = \frac{640000}{160000} = 4

。

看到三項式的頭尾是平方，就檢查中間那一項是不是「兩數相乘的

2

倍」。

第 11 題答案 (C)。把

A

移到左邊、

199. 5^{2}

移到右邊：

A = 20 0^{2} - 199. 5^{2}

。用平方差公式：

A = (200 + 199.5) (200 - 199.5) = 399.5 \times 0.5 = 199.75

。

另一個做法：

199. 5^{2} = (200 - 0.5)^{2} = 20 0^{2} - 2 \times 200 \times 0.5 + 0. 5^{2} = 20 0^{2} - 200 + 0.25 = 20 0^{2} - 199.75

，所以

A = 199.75

。

第 12 題答案 (C)。分母是

2

和

3

，先通分成

6

。

\frac{x ^{2} - x + 3}{2} = \frac{3 ( x ^{2} - x + 3 )}{6} = \frac{3 x ^{2} - 3 x + 9}{6}

。

\frac{2 x - 5}{3} = \frac{2 ( 2 x - 5 )}{6} = \frac{4 x - 10}{6}

。相減：分子是

(3 x^{2} - 3 x + 9) - (4 x - 10) = 3 x^{2} - 3 x + 9 - 4 x + 10 = 3 x^{2} - 7 x + 19

。所以原式

= \frac{3 x ^{2} - 7 x + 19}{6}

。

這是化簡式子，不是解方程式，分母

6

不能去掉。減去

(4 x - 10)

時，

- 10

要變成

+ 10

。

第 13 題答案 (A)。直式減法是同類項上下對齊，一欄一欄相減。

x^{2}

那一欄：

a - 2 = - 4

，所以

a = - 2

。

x

那一欄：

7 - 2 = b

，所以

b = 5

。常數那一欄：

(- c) - (- 3) = - 2

，也就是

- c + 3 = - 2

，

- c = - 5

，所以

c = 5

。

a - b + c = (- 2) - 5 + 5 = - 2

。

驗算：

(- 2 x^{2} + 7 x - 5) - (2 x^{2} + 2 x - 3) = - 2 x^{2} + 7 x - 5 - 2 x^{2} - 2 x + 3 = - 4 x^{2} + 5 x - 2

，與直式最後一列相同。

04第 14～17 題：負號與平方、除法關係、根號比大小

第 14 題答案 (C)。(A) 正確：把

- 3 x

看成一個數，

(- 3 x - 2) (- 3 x + 2) = (- 3 x)^{2} - 2^{2} = 9 x^{2} - 4

，右邊

(3 x)^{2} - 2^{2}

也是

9 x^{2} - 4

。(B) 正確：

- 3 x + 2 = - (3 x - 2)

，一個數和它的相反數平方後相等，所以

(- 3 x + 2)^{2} = (3 x - 2)^{2}

。(C) 錯誤：右邊

(- 3 x - 2)^{2} = [- (3 x + 2)]^{2} = (3 x + 2)^{2}

；左邊是

- (3 x + 2)^{2}

，前面多了一個負號，兩邊剛好差一個負號。例如

x = 0

時，左邊是

- 4

，右邊是

4

。(D) 正確：右邊

(2 - 3 x) (2 + 3 x) = 2^{2} - (3 x)^{2}

，左邊

- (3 x)^{2} + 2^{2}

只是把兩項的順序對調。

負號在括號裡面，平方後會變成正的；負號在平方外面，就一直留著。

第 15 題答案 (D)。兩個平方相乘，可以先把底數相乘再平方：

(- 1 + 3 x)^{2} \times (- 1 - 3 x)^{2} = [(- 1 + 3 x) (- 1 - 3 x)]^{2}

。中括號裡用平方差公式：

(- 1 + 3 x) (- 1 - 3 x) = (- 1)^{2} - (3 x)^{2} = 1 - 9 x^{2}

。再用差的平方公式：

(1 - 9 x^{2})^{2} = 1^{2} - 2 \times 1 \times 9 x^{2} + (9 x^{2})^{2} = 1 - 18 x^{2} + 81 x^{4}

。

(9 x^{2})^{2} = 81 x^{4}

，係數

9

也要平方。

第 16 題答案 (B)。等號兩邊同時乘以

A

：

6 x^{2} + 11 x - 27 = (2 x + 7) \times A + 8

。把

8

移到左邊：

(2 x + 7) \times A = 6 x^{2} + 11 x - 35

。所以

A = (6 x^{2} + 11 x - 35) \div (2 x + 7)

。做直式除法。第一步：

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

；

3 x (2 x + 7) = 6 x^{2} + 21 x

；相減得

11 x - 21 x = - 10 x

，帶下

- 35

，剩

- 10 x - 35

。第二步：

- 10 x \div 2 x = - 5

；

- 5 (2 x + 7) = - 10 x - 35

；相減剩

0

。所以

A = 3 x - 5

。

驗算：

(2 x + 7) (3 x - 5) + 8 = 6 x^{2} - 10 x + 21 x - 35 + 8 = 6 x^{2} + 11 x - 27

。這個式子的意思就是「

6 x^{2} + 11 x - 27

除以

A

，商式是

2 x + 7

，餘式是

8

」。

第 17 題答案 (B)。四個數都是正數，正數之間平方比較大的，原來的數也比較大，所以比較它們的平方。

a^{2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{5}{4}

。

b^{2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}

。

c^{2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{2} = \frac{50}{4}

。

d^{2} = \frac{5}{2} = \frac{10}{4}

。分母都是

4

，比分子：

50 > 25 > 10 > 5

，所以

c^{2} > b^{2} > d^{2} > a^{2}

，也就是

c > b > d > a

。

分數平方時，分子和分母都要平方：

(\frac{5}{2})^{2} = \frac{5}{4}

，不是

\frac{5}{2}

。

比較帶根號的正數，可以把它們都平方，再比較平方後的大小。

05第 18～21 題：平方根列式、末兩位數、除法、完全平方數的個數

第 18 題答案 (A)。

169 = 1 3^{2}

，

169

的負平方根是

- 13

，所以

x - y = - 13

。

4

是

2 x + 5 y

的正平方根，表示

4^{2} = 2 x + 5 y

，所以

2 x + 5 y = 16

。由第一式得

x = y - 13

，代入第二式：

2 (y - 13) + 5 y = 16

，

2 y - 26 + 5 y = 16

，

7 y = 42

，

y = 6

。代回得

x = 6 - 13 = - 7

。所以

x + y = - 7 + 6 = - 1

。

驗算：

x - y = - 7 - 6 = - 13

；

2 x + 5 y = - 14 + 30 = 16

，

16

的正平方根是

4

。原卷參考答案為 (B)，本站依題幹重算為 (A)

- 1

。（如果第二個條件是「

2 x + 5 y

為

4

的正平方根」，也就是

2 x + 5 y = 2

，才會算出

x = - 9

、

y = 4

、

x + y = - 5

。請以老師課堂上的公布為準。）

第 19 題答案 (A)。十位數字只要看末兩位。把每個數拆成「整百的數加一個小數字」。

9990 2^{2} = (99900 + 2)^{2} = 9990 0^{2} + 2 \times 99900 \times 2 + 2^{2}

，前兩項都是

100

的倍數，所以

9990 2^{2}

是「

100

的倍數

+ 4

」。同樣地，

8880 7^{2} = (88800 + 7)^{2}

是「

100

的倍數

+ 49

」，

3330 8^{2} = (33300 + 8)^{2}

是「

100

的倍數

+ 64

」。所以原式是「

100

的倍數

+ 4 - 49 + 64

」，也就是「

100

的倍數

+ 19

」。原式是正數（

9990 2^{2}

比

8880 7^{2}

大），所以末兩位是

19

，十位數字是

1

。

實際的值是

3203149219

，末兩位確實是

19

。

9990 0^{2}

和

2 \times 99900 \times 2

都含有因數

100

，所以不影響末兩位。

第 20 題答案 (D)。把

(2 x - 1)

看成一個整體。

- 3 (2 x - 1)^{2} + 5 = (2 x - 1) \times [- 3 (2 x - 1)] + 5

。這正好是「被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式」的樣子，而且

5

是常數，次數比除式

2 x - 1

低。所以商式是

- 3 (2 x - 1) = - 6 x + 3

，餘式是

5

。相加：

- 6 x + 3 + 5 = - 6 x + 8

。

也可以先展開再除：

- 3 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 5 = - 12 x^{2} + 12 x + 2

。除以

2 x - 1

：第一步

- 12 x^{2} \div 2 x = - 6 x

，

- 6 x (2 x - 1) = - 12 x^{2} + 6 x

，相減剩

6 x + 2

；第二步

6 x \div 2 x = 3

，

3 (2 x - 1) = 6 x - 3

，相減剩

5

。商式

- 6 x + 3

，餘式

5

，結果相同。

第 21 題答案 (B)。先算兩個根號。

2^{2} \times 3^{2} \times 5^{4} = 2 \times 3 \times 5^{2} = 150

。

2^{4} \times 5^{2} \times 7^{4} = 2^{2} \times 5 \times 7^{2} = 4 \times 5 \times 49 = 980

。所以

K

在

150

和

980

之間。

K

是正整數，表示

K

是某個正整數的平方。

1 2^{2} = 144

比

150

小，

1 3^{2} = 169

比

150

大。

3 1^{2} = 961

比

980

小，

3 2^{2} = 1024

比

980

大。所以

K

可以是

1 3^{2}

、

1 4^{2}

、……、

3 1^{2}

，共有

31 - 13 + 1 = 19

個。

題目要數的是「開根號後是整數」的

K

，不是

150

和

980

之間所有的整數。從

13

數到

31

的個數是

31 - 13 + 1

，要加

1

。

「

p

是

q

的平方根」就是

p^{2} = q

；先分清楚哪一個數要平方。

06第 22～24 題（計算題 1～3）

第 22 題做直式除法。第一步：

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

；

3 x (2 x + 1) = 6 x^{2} + 3 x

；相減得

- 4 x - 3 x = - 7 x

，帶下

+ 1

，剩

- 7 x + 1

。第二步：

- 7 x \div 2 x = - \frac{7}{2}

；

- \frac{7}{2} (2 x + 1) = - 7 x - \frac{7}{2}

；相減得

1 - (- \frac{7}{2}) = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}

。

\frac{9}{2}

是常數，次數比除式低，除法結束。商式是

3 x - \frac{7}{2}

，餘式是

\frac{9}{2}

。

驗算：

(2 x + 1) (3 x - \frac{7}{2}) + \frac{9}{2} = 6 x^{2} - 7 x + 3 x - \frac{7}{2} + \frac{9}{2} = 6 x^{2} - 4 x + 1

。

- 7 x

的次數和除式一樣是一次，還可以再除，商式會出現分數。

第 23 題先求

a

。

280 + a

是正整數，表示

280 + a

是某個正整數的平方。

a

是正整數，所以

280 + a

比

280

大。由

280 ≒ 16.7332

知道

1 6^{2} < 280 < 1 7^{2}

，比

280

大的平方數中最小的是

1 7^{2} = 289

。所以

a

的最小值是

289 - 280 = 9

。再求

b

。把

280

做質因數分解：

280 = 2^{3} \times 5 \times 7

。一個正整數是某個正整數的平方時，它的每個質因數的次方都是偶數。

280

裡面

2

有

3

個、

5

有

1

個、

7

有

1

個，都是奇數個，各要再補

1

個。所以

b

的最小值是

2 \times 5 \times 7 = 70

。

驗算：

280 + 9 = 289 = 1 7^{2}

；

280 \times 70 = 19600 = 14 0^{2}

。

第 24 題(1) 由圖，長方形的上邊長

9

，左邊長

5 + x

。灰色三角形的三個頂點分別在左邊、下邊和右上角，把長方形其餘的部分分成三個白色的直角三角形。灰色面積

=

長方形面積

-

三個白色直角三角形的面積。長方形面積：

9 (5 + x) = 45 + 9 x

。左上的白色三角形：兩股是

9

和

5

，面積

\frac{9 \times 5}{2} = \frac{45}{2}

。左下的白色三角形：兩股是

x

和

9 - 2 = 7

，面積

\frac{7 x}{2}

。右邊的白色三角形：兩股是

2

和

5 + x

，面積

\frac{2 ( 5 + x )}{2} = 5 + x

。灰色面積

= 45 + 9 x - \frac{45}{2} - \frac{7 x}{2} - (5 + x)

。

x

項：

9 x - \frac{7}{2} x - x = \frac{9}{2} x

。常數項：

45 - \frac{45}{2} - 5 = \frac{35}{2}

。所以灰色區域的面積是

\frac{9}{2} x + \frac{35}{2}

。(2) 把

x = \frac{3}{2}

代入：

\frac{9}{2} \times \frac{3}{2} + \frac{35}{2} = \frac{27}{4} + \frac{70}{4} = \frac{97}{4}

。

下邊全長是

9

，右邊那一段是

2

，所以左邊那一段是

9 - 2 = 7

。減去右邊的三角形

(5 + x)

時要加括號，

x

也要一起減掉。

斜放的三角形不容易直接找底和高時，改用「整個長方形減掉周圍的直角三角形」。

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第 9 題的值要寫成正整數減掉一個不到一的正數，所以要取比乘積大的那個整數；第 14 題要分清楚負號在平方裡面還是外面；第 18 題要分清楚哪一個數是哪一個數的平方根，再列出兩個式子；第 22 題的商式會出現分數，除到餘式是常數才停；第 24 題要用長方形減掉三個直角三角形，減的時候括號要保留。詳解逐題寫在本頁。

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03第 10～13 題：乘法公式速算、多項式的加減

04第 14～17 題：負號與平方、除法關係、根號比大小

05第 18～21 題：平方根列式、末兩位數、除法、完全平方數的個數

06第 22～24 題（計算題 1～3）

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國二第一次段考
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