9/2 第二次學測模考第一・二冊考前藍圖

情

考試情報：這場考什麼、怎麼計分

先讀這一頁

115 學年度第二次學測模擬考（E2）115 年 9 月 2 日（三）～ 9 月 3 日（四）

數學考試範圍

第一～二冊（數 A、數 B 不分卷）　考試時間 100 分鐘

官方單元清單

數與式　·　指數　·　對數　·　多項式函數　·　直線與圓　·　數列與級數　·　數據分析　·　排列組合與機率　·　三角比
＝本講義第 1～9 章，逐項對應。

承辦出版社

E 系列（第一、二次同一承辦；第三、四次改由另一家承辦，卷號 N 系列）

本講義的對照卷

E2 連續四屆：111-E2、112-E2、113-E2、114-E2（全部是「第二次」、範圍全部是第一～二冊全）
另加 113-N2（另一版本之第二次）作跨版本對照。115-E1 只用來對照公式表，它只考第一冊，分佈不可外推。

一、卷子長什麼樣

部分	四張E2 的實際配置	你該記住的
一、單選題	1–6（30 分）；111 屆為 1–7（35 分）	每題 5 分。答錯／未答／劃記多於一個皆 0 分，不倒扣 ⇒ 絕不留空白
二、多選題	7–12（30 分）；114 屆為 7–11（25 分）	選項獨立判定，錯 $k$ 個得 $\frac{n - 2 k}{n}$ 。5 選項時錯 1 個仍得 3 分、錯 2 個得 1 分 ⇒ 有把握 3 個就該作答
三、選填題	13–17（25 分）；114 屆為 12–17（30 分）	每題數格，全對才給分、答錯不倒扣。格式比計算更容易失分
第貳部分混合題／非選	四屆一律 18–20，15 分，只有 1 個題組	非選分段給分、多解法都給分 ⇒ 寫出過程與情形就有分，空白才是 0

固定：第壹部分 85 分、第貳部分 15 分、每題 5 分、只有一個題組。浮動：各區題數。進考場先翻一遍看清楚哪一區到哪一題。

二、參考公式表：卷末會給你哪些

111、112、114 三屆E2 的公式表逐字相同，只有下面六條。公式表隨考試範圍換：E1 只考第一冊，給的是第一冊的公式；E2 考到第二冊，給的就換成第二冊的。拿 E1 的印象來準備會背錯方向。

✔ E2 卷末會給——不要浪費時間背

等差級數和 $S = \frac{n [ 2 a + ( n - 1 ) d ]}{2}$
等比級數和 $S = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$
正弦定理（含 $= 2 R$ ）、餘弦定理
算術平均數、標準差（兩種形式都給）
相關係數、迴歸直線 $y - μ_{Y} = r \frac{σ _{Y}}{σ _{X}} (x - μ_{X})$
參考數值： $2, 3, 5, 6, 7, 120, π$ 及該卷用得到的次方值
對數值： $lo g 2, lo g 3, lo g 5, lo g 7$ 及該卷用得到的

✘ E2 不給——9/1 要默寫的就是這張

點到直線距離、兩點距離、斜率公式、二次公式（這四條 E1 有給、E2 沒有）
圓一般式的圓心與半徑 $\frac{1}{2} D^{2} + E^{2} - 4 F$
算幾不等式、分點公式
餘式定理・因式定理・綜合除法
$Σ k, Σ k^{2}, Σ k^{3}$ 、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$
$P_{r}^{n}$ 、 $C_{r}^{n}$ 、 $H_{r}^{n}$ 、二項式定理、取捨原理、期望值
三角形面積四式（ $\frac{1}{2} ab sin C$ 、 $r s$ 、 $\frac{ab c}{4 R}$ 、海龍）
誘導公式與象限正負、極坐標互換

析

拆解四屆 E2：哪些能押、哪些押不得

111・112・113・114

下面的數字來自第二次全模（E2）連續四屆的實際考卷——同樣是「第二次」、範圍同樣是第一～二冊全，與 9/2 這場完全對齊。單元歸類採用各卷詳解裡出版社自己標註的「出處」欄。

一、九個單元的實際題數（跨單元題兩邊都計）

單元	111	112	113	114	四屆合計	全距	對照卷 113-N2	四屆實際考過的題型
排列組合與機率	5	3	3	5	16	3–5	3	分組分堆配取捨｜不盡相異物與不相鄰排列｜受限排列與樹狀圖窮舉｜期望值（三屆）｜古典機率
多項式函數	2	3	5	4	14	2–5	4	餘式定理與除法原理（四屆都考）｜三次函數對稱中心＋一次近似｜二次函數圖形與判別式｜多項式不等式
三角比	3	5	4	2	14	2–5	2	正餘弦定理求外接圓半徑（三屆）｜ $△ = r s = \frac{ab c}{4 R}$ 求內切圓｜廣義角與極坐標｜三角測量｜圓上動點
直線與圓	2	4	4	2	12	2–4	3	二元一次不等式與可行區域｜圓的弦長｜圓與直線的關係｜點到直線距離｜直線圖形與斜率判斷
數與式	3	2	2	2	9	2–3	0	雙重根號（三屆）｜分點公式（兩屆）｜絕對值方程式與不等式｜算幾不等式
指數、對數	3	2	1	3	9	1–3	2	成長衰退模型｜用常用對數估大小與位數｜指數律化簡｜與數列複合
數列與級數	2	4	2	1	9	1–4	5	等差中項與級數和｜等比一般項與級數和｜遞迴式｜ $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ｜與情境結合
數據分析	2	2	2	2	8	恆 2	2	標準差與最適直線（四屆都考）｜數據標準化｜相關係數判讀｜線性調整｜幾何平均數

二、三個容易押錯的地方

非選題組沒有固定單元。四屆分別落在：111 排列組合與機率｜112 同一情境橫跨三個單元（絕對值 → 古典機率 → 不盡相異物排列）｜113 多項式函數 × 直線與圓｜114 排列組合與機率。這 15 分不是靠押某一章拿的，任何一章都可能被抽中。
三角比不是小章。112 屆 5 題、113 屆 4 題，只有 114 屆是 2 題。它和排列組合、多項式一樣屬於第一梯隊。
不要拿 115-E1 的印象套 E2。E1 只考第一冊，直線與圓在那張卷上有 8 題——那是因為第二冊四個單元一題都沒有，密度被撐高。E2 的直線與圓穩定在 2～4 題。連參考公式表都不一樣（見上一節）。

三、四屆之後唯一真正穩定的事實

① 數據分析恆為 2 題四屆同場次加跨版本那張，五份卷全部恰好 2 題。而且它的公式（標準差、相關係數、迴歸直線）卷末全給。⇒ 單位時間投報率最高的一章。

② 前四大彼此輪動排列組合 16、多項式 14、三角比 14、直線與圓 12，合計 56/80。但每一章的全距都跨 2–5 題，哪一年誰最多完全會換。⇒ 押章不如押技能。

③ 餘式定理四屆都考四屆的多項式題必有一題是除法原理／餘式定理（含除以

2 x - 1

的餘式是

f (\frac{1}{2})

、除以二次式設

a x + b

）。這是全卷命中率最高的單一技能。

四屆都出現、必須練到反射的技能

餘式定理與除法原理（4／4）、標準差與最適直線（4／4）。
三次函數對稱中心＋一次近似（3／4，且一次近似要用連續綜合除法不是微分）。
正餘弦定理求外接圓半徑（3／4）、期望值（3／4）、雙重根號（3／4）。
分點公式（112、113 各一次，且 112 屆是單選第 1 題）、廣義角與極坐標（112、113）。
二元一次不等式的可行區域（112、113 都在題組裡出現）。

畫

9 天讀書計畫（每週 12 小時）

8/24 – 9/1

一、四份歷屆卷怎麼用（不是四份都整卷做）

手邊有第二次全模（E2） 111～114 連續四屆的完整試題與詳解。四份全部整卷做要 11 小時以上，會把讀書時間吃光。下表是分工：由舊到新，用途逐份升級。檔案在桌面／考古題／模擬考／數學／1xx／。

卷	日期	怎麼用	計時	為什麼這樣安排
① 111-E2	8/27 四	分區練習只做單選＋多選	60 分作答 30 分檢討	最舊的一屆，拿來校準難度與確認選擇題的節奏。⚠ 這屆是單選 7 題、多選 5 題，題號和其他屆不同，別被嚇到。
② 112-E2	8/29 六	分區練習只做選填＋題組	50 分作答 50 分檢討	選填題全對才給分、題組 15 分分段給分——這兩區最容易「算對卻沒分」，值得單獨計時練。這屆的題組還橫跨三個單元，正好練跨章反應。
③ 113-E2	8/30 日	全真整卷	100 分作答 70 分檢討	唯一一次完整模擬。排在考前三天，留兩天補洞。⚠ 這屆是掃描檔沒有文字層，要先印出來。
④ 114-E2	9/1 二	只掃題、不作答	30 分	最新一屆，最接近 9/2 的樣子。留到最後不是拿來做，是拿來確認辨識力：每題看 30 秒，說出「這題要用哪個技能」，再翻詳解的〈出處〉欄對答案。考前一天要的是看到題目就知道走哪條路，不是再算一次。

對答案時多選要按 $\frac{n - 2 k}{n}$ 算，不要當成全對或全錯——你會發現自己的多選實得分比想像低。
四份詳解都有出版社自己標的〈出處〉與〈目標〉欄。檢討時先看那兩欄再看解法：它會直接告訴你這題在考哪個單元的哪個技能，比看算式有用。
錯題的補法：把〈目標〉欄那句話（例如「餘式定理與除法原理」）當關鍵字，回《對話式》翻到那一節，再做 3 題類題。用它的目錄找，比自己憑印象翻快得多。
若某一章在 8/30 崩掉、想再多練，115-E1（第一冊全）可以拿來補第 1～4 章；但它不含第二冊，不要拿來當整卷模擬。

二、時數盤點

從今天 8/24（一）到考前一天 9/1（二）共 9 天：平日 1.5 小時、週末 3 小時、最後一天 1 小時 ⇒ 約 16 小時。
其中 6.8 小時給四份歷屆卷、7.2 小時給單元複習、其餘給診斷、補洞與收斂。單元的先後不是照課本順序，是照四屆的實際題數與「投報率」排的——數據分析排在第一天就是這個原因：它四屆都恰好 2 題（10 分），而且標準差、相關係數、迴歸直線的公式卷末全給，45 分鐘練會判讀就能穩穩吃下這 10 分，是全卷最快見效的一章。

③ 113-E2 全真＋檢討3.0 h ② 112-E2 分區＋檢討2.0 h ① 111-E2 分區＋檢討1.5 h 排列組合與機率1.5 h 三角比1.5 h 多項式函數1.25 h 直線與圓1.0 h 數據分析0.75 h 診斷定位0.75 h ④ 114-E2 掃題辨識0.5 h 8/30 後補洞0.5 h 數列與級數0.5 h 指數與對數0.5 h 錯題本與公式默寫0.5 h 數與式0.25 h

三、逐日計畫

日期	時數	主題	今天要做完的具體動作	今天的產出
8/24 一	1.5 h	診斷＋數據分析	前 45 分：〈開工診斷 18 題〉計時自測、不查書，對答案後照「對應章」欄數出每章錯幾題。後 45 分：第 6 章〈數據分析〉。線性變換後的 $μ, σ, r$ 4 題、標準差與最適直線 4 題、標準化比較 2 題、百分位數 2 題。公式卷末會給，所以這 45 分鐘練的是「看懂題目在問哪個統計量」，不是背公式。	弱章排序＋數據分析拿下
8/25 二	1.5 h	多項式函數＋數與式	前 75 分：餘式定理與除法原理 5 題（含除以 $2 x - 1$ 、除以二次式）——四屆都考；三次函數對稱中心 4 題、一次近似（連續綜合除法） 4 題。後 15 分：第 1 章只練兩型——雙重根號 2 題、分點公式 2 題。	餘式＋一次近似 SOP
8/26 三	1.5 h	排列組合與機率	相鄰／不相鄰 3 題、不盡相異物 3 題、分組分堆配取捨 4 題、期望值 3 題、樹狀圖窮舉 2 題。每題把「我分了哪幾種情形」寫成條列。	分組分堆 SOP
8/27 四	1.5 h	① 111-E2 分區	計時 60 分鐘做單選 1–7 ＋多選 8–12（共 12 題），中途不查書、不留空白。檢討 30 分鐘：只看錯題與猜對的題，多選按 $\frac{n - 2 k}{n}$ 算實得分。	選擇題實得分
8/28 五	1.5 h	三角比	$△ = r s = \frac{ab c}{4 R}$ 求內切圓與外接圓半徑 4 題（公式不給，要背）、正餘弦定理綜合 4 題、廣義角與極坐標 3 題、三角測量 2 題。	面積四式默寫過
8/29 六	3 h	直線與圓＋② 112-E2 分區	前 60 分：二元一次不等式與可行區域 4 題、圓的弦長與交點 3 題、點到直線距離（公式不給）3 題。後 120 分：計時 50 分鐘做 112-E2 的選填 13–17 ＋題組 18–20，檢討 70 分鐘——選填特別檢查有沒有化到最簡，題組檢查有沒有把分了哪幾種情形寫出來。	選填格式零失分
8/30 日	3 h	③ 113-E2 全真	①100 分鐘不中斷，仿真作答（照本講義最後的〈全真計時卷的步驟〉）。②休息 10 分鐘。③檢討 70 分鐘：只檢討錯題與猜對的題，每題寫一句「錯在哪一步」。	一份完整檢討
8/31 一	1.5 h	補洞＋數列＋指對數	前 30 分：照 8/30 錯最多的那一章補題。中 30 分：第 5 章〈數列與級數〉—— $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 並驗 $n = 1$ 3 題、遞迴 2 題、等差等比綜合 2 題。後 30 分：第 2 章〈指數與對數〉——成長衰退模型 3 題、位數與大小估計 2 題、指對方程式 2 題。	弱點清零
9/1 二	1.0 h	④ 114-E2 掃題＋收斂	①30 分鐘掃 114-E2：每題看 30 秒，不算，只說出「這題用哪個技能」，再翻詳解〈出處〉欄對。②錯題本重看 15 分鐘。③照〈E2 不給的公式〉那張清單默寫 15 分鐘。23:00 前睡。	心安

沒有哪一章可以放棄。四屆的非選題組落在四個不同地方，而且 112 屆的題組橫跨三個單元——這 15 分不是靠押某一章拿的。
9/1 不要做新題、不要做整卷。那天的 114-E2 是「看」不是「做」；當天要的是辨識速度與心情穩定。
如果某天只有 1 小時，砍練題數量、不要砍檢討。歷屆卷的日子則寧可少做幾題也要把檢討做完——做完不檢討等於沒做。

法

怎麼練：90 分鐘標準循環與兩條練題管道

每天照做

一、90 分鐘標準循環（1.5 小時的那幾天照這個跑）

0–10 分　默寫公式。翻到今天那一章的「核心公式」，用一張白紙蓋住，只看標題（例如「餘弦定理」）把式子默寫出來，再掀開對。寫不出來的用紅筆在講義上圈起來。
10–20 分　讀易錯與考法。看該章的「▲ 易錯提醒」和「大考這樣考」兩欄，每一條問自己「我上次是不是就錯這個」。
20–55 分　練題（35 分鐘，12～14 題）。走下面管道 A 或 B。邊做邊在題號旁標記：〇＝確定、△＝猜的、✗＝不會。
55–75 分　只檢討 △ 和 ✗。做對的〇一律跳過。每題在錯題本寫三行：①題目關鍵字　②我錯在第幾步　③正確的第一步該怎麼想。不要抄整份詳解——抄詳解不會讓你下次做對。
75–85 分　回頭補公式。把剛剛錯題用到的公式，再默寫一次。
85–90 分　寫下一句話。「明天開始前我要先複習 ______」，貼在講義封面。

3 小時的日子＝跑兩輪，中間休息 15 分鐘；全真計時卷那天例外，照本節最後的〈8/30 全真計時卷的步驟〉。

管道 A：《對話式》講義（晟景 · 葉晉宏 · 108 課綱）

適合：觀念還沒建立、或某一章要整章重讀時。它不直接給公式，而是用口語化的對話把概念帶一遍，這是它和一般講義最大的差別。

先搞清楚手上這套有三個部分——很多人只用了主講義，另外兩本放到考完都沒拆：

部分	份量	這 10 天怎麼用
主講義	第 1 冊 238 頁第 2 冊 286 頁	觀念段 → 範例 → 類題 → 素養／情境題 → 歷屆學測試題 → 資優挑戰
課後練習本	第 1 冊 32 頁第 2 冊 40 頁	當限時小考用，一次 15～20 分鐘，放在每天最後
詳解本	第 1 冊 88 頁第 2 冊 104 頁	只在檢討時打開，先自己找出錯在哪一步再看整解

使用步驟：

第一天先花 5 分鐘做「冊次對照」。翻兩本的目錄，把官方九個單元各標在哪一冊哪一章，寫在講義封面內頁。⚠ 晟景第 1 冊是數與式、直線與圓、多項式三個單元，但這場模考的「第一冊」還包含指數與對數——兩邊分冊不一定一致，指數對數在哪一冊一定要自己翻目錄確認，這是唯一會讓你整天翻錯本的地方。
不要從第一頁讀。照本講義的逐日計畫，每天只讀當天那一章。
觀念段讀完要「蓋起來覆述」。它寫得順、讀起來很舒服——但讀得順不等於會。每小節讀完蓋住，用自己的話說一次「這段在講什麼」，說不出來就重讀。觀念段設鬧鐘 20 分鐘，超過就先跳去做題。
範例先自己算完再看解答。範例是這套書的教學主軸，直接看解答等於整章沒讀。
類題每個範例做 1～2 題就好。這 10 天沒有時間全做，確認同型會了就往下。
「歷屆學測試題」那一區優先做完。它已經幫你篩過，那一區最接近模考的難度與題型。
「資優挑戰題」這 10 天整區跳過。模考不考那個難度，做它是拿最貴的時間換最少的分。
課後練習本收尾。每天最後限時 15～20 分鐘做一回，錯的直接進錯題本。

若手上有《對話式 1-2 冊學測複習講義》（薄本，約 265 元），這 10 天用它比翻兩本主講義有效率——它就是為第一～二冊這個範圍做的複習本。主講義留給觀念不熟的那一兩章。
它的觀念段是這套書最大的優點，也是最大的時間陷阱。你的目標是模考，不是讀完一本書——照計畫走，讀不完的章節不要有罪惡感。

管道 B：御藍教育網站（照範圍自動出題＋錯題本）

適合：觀念大致有了、要大量練並看出破洞時。它的強項是「哪些子觀念你根本還沒碰過」與錯題自動累積。

個人中心→ 確認「年級」是 12（高三）。沒設成高三，時程表就不會出現模擬考場次。
段考時程→ 找到「模擬考 2」→ 把日期設成 9/2 → 儲存。
同一頁點「編輯段考範圍」→ 標題會顯示「模擬考 2 考哪幾章？」→ 把第一、二冊九個單元全部勾選→ 儲存（出現「段考範圍已更新，之後出題會照這個範圍」才算成功）。
學習曲線→ 切到「段考模式」。因為剩下的範圍大、天數少，系統會判定成衝刺模式，給你一份依 ROI 排序的概念清單。
每天開練前，先看那份清單最上面的 2～3 個概念——那就是今天最該練的。
首頁→「照段考範圍開始」。平日用練習模式（可用 AI 引導）；8/30 全真卷改用測驗模式（計時、不給提示）。
做完當天一定進錯題本；隔天開練的第一件事是清昨天的錯題，清完才做新題。
睡前看做題記錄，確認今天的題數有達到計畫表的數字。

先確認週配額夠不夠。這 9 天照計畫大約要做 130～150 題（含診斷 18 題與全真卷 20 題），方案的每週題數是 50／100／200。不夠的話，把網站的額度留給 8/30 的全真卷與弱章，其餘用管道 A 補。
模擬考場次的日期要自己填（系統沒有預載各校模考日程）。若「模擬考 2」沒出現，改用學習曲線 → 總複習模式看「全範圍覆蓋」，一樣能定位沒碰過的子觀念。

二、8/30 全真計時卷的步驟（這天最重要，不要打折）

準備：113-E2 的題目卷（桌面／考古題／模擬考／數學／113／）。先印出來——這屆是掃描檔，在螢幕上寫等於白做。答案卷用空白 A4 自己畫，選填題也照格數寫。手機關機放到別的房間。
作答 100 分鐘：計時器一按就不許停。照題號順序做，卡超過 4 分鐘就跳過並在題號畫圈，最後回頭處理。空白一律不留。
結束後先自評 5 分鐘：在還沒對答案前，把你「猜的」題目標△。這一步能讓你分清「真的會」和「運氣好」。
對答案、算分：多選按 $\frac{n - 2 k}{n}$ 算，不要當成全對或全錯。算出實得總分並寫在卷首。
檢討 70 分鐘：只看 △ 和 ✗。先翻詳解的〈出處〉與〈目標〉欄，確認這題在考哪個單元的哪個技能，再看解法。每題寫「錯在哪一步」。同一個觀念錯兩次以上的，抄到一張紙上當作 8/31 的主攻清單。
統計時間分配：把「哪一大題吃掉最多時間」寫下來。若選填題耗掉 40 分鐘以上，9/1 要練的是取捨不是新觀念。

診

開工診斷 18 題（今天（8/24）就做，計時 45 分鐘）

九章各 2 題

做法：計時 45 分鐘、不查書、不用計算機（可用 $lo g 2 = 0.3010$ 、 $lo g 3 = 0.4771$ ）。做完再翻到下方對答案，把每章錯幾題填進右欄——那張表就是你這 9 天的主攻順序。

D1 不等式

∣2 x - 3∣ \leq 5

的整數解共有幾個？

D2 設

x > 0

，求

3 x + \frac{12}{x}

的最小值。

D3 求

lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3

的值。

3^{50}

是幾位數？

D5 求

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 1

除以

x + 3

的餘式。

D6 解不等式

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

。

D7 求點

(1, - 2)

到直線

4 x - 3 y + 1 = 0

的距離。

D8 求圓

x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0

的半徑。

D9 等差數列首項

5

、公差

- 3

，求

S_{10}

。

D10 等比數列

2, 6, 18, \dots

的第 6 項是多少？

D11 資料

2, 4, 6, 8, 10

的標準差。

D12 已知

σ_{x} = 2, σ_{y} = 6, r = 0.5

，求

y

對

x

的迴歸直線斜率。

D13 由

0, 1, 2, 3, 4

取相異三數排成三位數，共幾個？

D14 求

(x + 2)^{5}

展開式中

x^{2}

的係數。

D15 擲兩顆公正骰子，兩數乘積為偶數的機率。

D16 由

1 \sim 5

五張卡任取 2 張，兩數和為偶數的機率。

D17

△ A B C

中

b = 3

、

c = 5

、

A = 6 0^{\circ}

，求

a

。

D18 求

sin 15 0^{\circ} + cos 24 0^{\circ} + tan (- 4 5^{\circ})

。

答案與對應章（錯幾題就填幾）

對應章	題號・答案	錯了代表什麼	我錯幾題
1 數與式	D1 $= 6$ 個（ $- 1 \leq x \leq 4$ ）　D2 $= 12$ （ $x = 2$ ）	絕對值範圍沒轉對／算幾不等式等號條件沒檢查	＿／2
2 指數與對數	D3 $= 3$ 　D4 $= 24$ 位數	對數律不熟／首數與位數的關係搞反	＿／2
3 多項式函數	D5 $= 7$ 　D6 $= 2 \leq x \leq 3$	餘式定理代錯號（是 $f (- 3)$ 不是 $f (3)$ ）／不等式方向	＿／2
4 直線與圓	D7 $= \frac{11}{5}$ 　D8 $= 5$	距離公式分母／一般式配方求半徑	＿／2
5 數列與級數	D9 $= - 85$ 　D10 $= 486$	等差和公式／等比一般項的指數是 $n - 1$	＿／2
6 數據分析	D11 $= 22$ 　D12 $= 1.5$	變異數分母用 $n$ ／迴歸斜率是 $r \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}}$ 不是 $r$	＿／2
7 排列組合	D13 $= 48$ 　D14 $= 80$	首位不能為 0／二項式通項的指數對應	＿／2
8 機率	D15 $= \frac{3}{4}$ 　D16 $= \frac{2}{5}$	沒想到用餘事件／取捨時分子分母計數方式不一致	＿／2
9 三角比	D17 $= 19$ 　D18 $= - 1$	餘弦定理的夾角位置／廣義角象限正負	＿／2

怎麼用這張表

錯 2 題的章＝最優先，把該章時數加 30 分鐘（從錯 0 題的章挪過來）。
錯 1 題：照原計畫走，但那一題的類型要在該章練題時多做 2 題。
錯 0 題：不代表可以跳過——這裡只是基本題。照計畫讀，但練題量可以砍三分之一。
全對超過 15 題：把省下的時間全部加到 8/30 的全真卷檢討上，你缺的是速度與穩定度不是觀念。

數與式：實數、絕對值、指數與根式

第一冊

核心公式

實數與數線有理數

⟺

有限小數或循環小數；

0. \overline{ab c} = \frac{ab c}{999}

三一律：

a > b

、

a = b

、

a < b

恰有一成立

絕對值定義

∣ a ∣ = a^{2}

；

∣ a - b ∣

＝數線上兩點距離

∣ ab ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣

，

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

，

∣ a ∣^{2} = a^{2}

絕對值不等式（

b > 0

）

∣ x - a ∣ < b ⟺ a - b < x < a + b

∣ x - a ∣ > b ⟺ x < a - b

或

x > a + b

三角不等式

∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a \pm b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

右式等號：

a, b

同號；左式等號：

a, b

異號

★ 距離和的最小值（大考主力）

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ \geq ∣ a - b ∣

，等號在

x

介於

a, b

之間（整段都成立）

∣ x - a ∣ - ∣ x - b ∣

的值域為

[- ∣ a - b ∣, ∣ a - b ∣]

指數律（

a, b > 0

）

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

，

(a^{m})^{n} = a^{mn}

，

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

，

a^{m / n} = n a^{m}

，

a^{0} = 1

根式與有理化

a^{2} = ∣ a ∣

（不是 $a$ ）

\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}

；三項時先併兩項再有理化

雙重根號（

a > b > 0

）

a + 2 b = m + n

，其中

m + n = a

、

mn = b

a - 2 b = m - n

（大的擺前面）

算幾不等式（各數

\geq 0

）

\frac{a + b}{2} \geq ab

，

\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c

等號

⟺

各數相等；用來求最值時乘積必須是定值

乘法公式

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

；

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + c a)

三元恆等式

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)

\Rightarrow a + b + c = 0

時

a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c

科學記號・估算

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）；

2 \approx 1.414

、

3 \approx 1.732

、

5 \approx 2.236

、

6 \approx 2.449

比較根式大小：兩邊平方或同時放大到同次方根

★ 無理數的估計（E1 單選第 4 題型）找一個好算的平方數當錨（例如

4 5^{2} = 2025

），先把整串裡的

大數

一律估成那個錨，再回頭比較剩下的部分

n^{2} \leq N < (n + 1)^{2} \Rightarrow n \leq N < n + 1

；要更準就看

N

離哪一端近

★ 各種「平均」在數線上比大小（E1 多選第 10 題型）設

0 < a < b

。加權平均

\frac{m a + n b}{m + n}

由分點公式可知落在

a, b

之間，且權重大的那一側被拉得近（

b

的權重越大，值越靠近

b

）。算術平均

\frac{a + b}{2}

是正中間；幾何平均

ab

由算幾不等式知

ab < \frac{a + b}{2}

（

a \neq = b

時）。⇒ 這類多選題先把四個量標到同一條數線上，就不必硬算。

大考這樣考

① 距離和方程式的解的個數

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ = k

：

k < ∣ a - b ∣

無解｜

k = ∣ a - b ∣

無限多解（整段）｜

k > ∣ a - b ∣

恰 2 解。114 學測數 B 第 1 題正是此型。

② 算幾求最值看到

x + \frac{k}{x}

、

\frac{a}{x} + \frac{b}{y}

配

x + y

定值，先確認正號與定值，再檢查等號的 $x$ 在不在題目限制內。

③ 藏在別章裡指對數題會先要你化簡根式與指數；三角比題的答案要化成最簡根式；這章的分數多半不是靠獨立題拿的，是靠不失分。

④ 選填題的化簡答案若是

\frac{6}{3}

一定要寫成

23

；

\frac{4}{6}

要寫

\frac{2}{3}

。沒化簡＝0 分。

$x^{2} = ∣ x ∣$ 。脫根號的當下就問「裡面可能是負的嗎」。
算幾不等式取最小值必須每項為正且乘積為定值；等號成立的 $x$ 要真的落在定義域內，否則最小值另求。
絕對值方程式分段討論後一定回代驗根——分段時的假設（例如 $x < - 2$ ）必須和解相容。
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ 不是恆等式，它等價於 $ab \geq 0$ 。多選題很愛拿這個當陷阱。

對應例題

例 1-1 解

∣2 x - 1∣ \leq 5

。

- 5 \leq 2 x - 1 \leq 5 \Rightarrow - 4 \leq 2 x \leq 6

。

- 2 \leq x \leq 3

，即

[- 2, 3]

例 1-2 解

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ < 7

。分界

- 2, 1

。

x < - 2

：

- 2 x - 1 < 7 \Rightarrow x > - 4

；

- 2 \leq x < 1

：左式恆

= 3 < 7

；

x \geq 1

：

2 x + 1 < 7 \Rightarrow x < 3

。

- 4 < x < 3

例 1-3 方程式

∣ x - 1∣ + ∣ x - 4∣ = 3

的實數解有幾個？距離和最小值

= ∣1 - 4∣ = 3

，恰等於右式 ⇒ 整段 $[1, 4]$ 都是解。無限多個

例 1-4 承上，若改成

∣ x - 1∣ + ∣ x - 4∣ = 5

呢？

5 > 3

⇒ 兩側各一解：

x < 1

時

5 - 2 x = 5 \Rightarrow x = 0

；

x > 4

時

2 x - 5 = 5 \Rightarrow x = 5

。2 個（

x = 0, 5

）

例 1-5 設

x > 0

，求

x + \frac{4}{x}

的最小值。乘積

= 4

為定值，

\geq 24 = 4

，等號在

x = 2

（在定義域內 ✓）。最小值 4

例 1-6 設

x > 1

，求

x + \frac{4}{x - 1}

的最小值。湊定值：

= (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1 \geq 24 + 1

，等號在

x - 1 = 2

即

x = 3

。最小值 5

例 1-7 化簡

7 + 43

。

43 = 212

，找

m + n = 7

、

mn = 12

⇒

m = 4, n = 3

。

2 + 3

例 1-8 化簡

\frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{3 + 2}

。各自有理化：

(3 + 2) + (3 - 2)

。

23

例 1-9

7 + 26 - 7 - 26

是有理數還是無理數？

m + n = 7, mn = 6 \Rightarrow m = 6, n = 1

：

(6 + 1) - (6 - 1) = 2

。有理數

2

例 1-10 已知

3 2^{2} = 1024

。下列何者最接近

32

？

1000 - 1000

、

1024 - 1024

、

1060 - 1060

。以

1024 = 32

為錨，三者約為

968, 992, 1028

；

3 2^{2} = 1024

，比較與 1024 的差：

56, 32, 4

。第三個（

1060 - 1060

）

例 1-11 設

0 < a < b

，令

x = \frac{3 a + 7 b}{10}

、

y = \frac{7 a + 3 b}{10}

、

z = \frac{a + b}{2}

、

w = ab

。判斷四者大小。分點公式：

y

偏

a

、

z

在中間、

x

偏

b

⇒

a < y < z < x < b

；算幾

w < z

。

y < z < x

且

w < z

； $w$ 與 $y$ 的大小不一定

指數與對數

第一冊　★★★ 高比重

核心公式

定義（

a > 0, a \neq = 1, x > 0

）

lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x

lo g_{a} 1 = 0

，

lo g_{a} a = 1

，

a^{l o g_{a} x} = x

，

lo g_{a} a^{k} = k

對數律

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

；

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M

（

M > 0

）

換底公式

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} = \frac{1}{lo g _{b} a}

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

；

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c

常用對數值

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

lo g 5 = 1 - lo g 2

，

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3

，

lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2

首數與位數

N \geq 1

，

lo g N = n + α

（

n \in Z

，

0 \leq α < 1

）

\Rightarrow N

有

n + 1

位

0 < N < 1

，

lo g N = - k + α \Rightarrow

小數點後第

k

位才出現第一個非零數字

尾數的用途尾數

α

決定首位數字：

α \in [lo g d, lo g (d + 1)) \Rightarrow

最高位為

d

lo g N

與

lo g (1 0^{k} N)

尾數相同

函數圖形

y = a^{x}

：

a > 1

遞增、

0 < a < 1

遞減，過

(0, 1)

，漸近線

y = 0

y = lo g_{a} x

與

y = a^{x}

對

y = x

對稱，過

(1, 0)

，漸近線

x = 0

圖形變換

y = lo g (k x) = lo g x + lo g k

：水平縮放＝垂直平移

y = lo g (x - h) + v

：右移

h

、上移

v

；

y = lo g_{1/ a} x = - lo g_{a} x

（對

x

軸翻）

解指數／對數不等式同底比較：

a > 1

不等號不變；

0 < a < 1

不等號反向對數不等式先寫定義域（真數

> 0

），再比較

換元法

a^{2 x}

型：令

t = a^{x} > 0

化為二次；解出 $t$ 後要檢查 $t > 0$

(lo g x)^{2}

型：令

u = lo g x

（

u

可為任意實數）

★ 成長與衰退模型（學測最愛的素養題）半衰期

A = A_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}

｜倍增

A = A_{0} \cdot 2^{t / T}

｜年成長率 $r$

A = A_{0} (1 + r)^{t}

｜複利

A = P (1 + i)^{n}

｜地震規模

M = \frac{2}{3} lo g E + C

（規模差 1 ⇒ 能量約

31.6

倍）｜pH

= - lo g [H^{+}]

｜分貝

= 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

解法一律是：列出模型 → 兩邊取

lo g

→ 變成一次方程式或不等式 → 用

lo g 2, lo g 3

代值。

大考這樣考

① 大小比較給

\frac{1}{2} < a < 1 < b < 2

，比較

lo g a

、

lo g (a^{2})

、

(lo g a)^{2}

、

\frac{1}{lo g b}

。關鍵是先判正負再比絕對值；

lo g (a^{2}) = 2 lo g a

會比

lo g a

更負。

② 模型反解時間「幾年後超過兩倍」「幾小時後剩

\frac{1}{8}

」——取

lo g

後解不等式，答案要取整數且注意是「第幾年」還是「幾年後」。

③ 圖形變換多選問「

y = lo g (5 x)

是否為

Γ : y = lo g x

上移

\frac{1}{2}

」——實際是上移

lo g 5 \approx 0.699

，不等於 $\frac{1}{2}$ 。這種數值近似的辨析每年都有。

④ 位數／首位數字

2^{100}

幾位數（用首數）、

2^{100}

的最高位數字（用尾數）。兩者要分清楚。

第一行先寫定義域：真數 $> 0$ 、底數 $> 0$ 且 $\neq = 1$ 、分母 $\neq = 0$ 。 $lo g_{2} (x - 1)$ 解完務必驗 $x > 1$ 。
$lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ ，不是 $2 lo g_{a} x$ （ $x$ 可為負）。
$0 <$ 底 $< 1$ 的不等式忘記變號，是這章第一名的失分點。
$(lo g a)^{2}$ 與 $lo g (a^{2})$ 完全不同； $\frac{lo g a}{lo g b}$ 與 $lo g \frac{a}{b}$ 也完全不同。

對應例題

例 2-1 已知

lo g 2 = 0.3010

，求

2^{100}

的位數。

lo g 2^{100} = 30.10

，首數

30

。31 位數

例 2-2 承上，

2^{100}

的最高位數字是多少？尾數

0.10

，而

lo g 1 = 0 \leq 0.10 < lo g 2 = 0.3010

。最高位為 1

例 2-3 解

lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3

。定義域

x > 1

；

(x - 1) (x + 1) = 8 \Rightarrow x^{2} = 9

。

x = 3

（

- 3

不合）

例 2-4 解

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0

。令

t = 2^{x} > 0

：

t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4

（

t = - 1

捨）。

x = 2

例 2-5 解

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} > 9

。

3^{- (2 x - 1)} > 3^{2}

，底

> 1

⇒

- 2 x + 1 > 2

。

x < - \frac{1}{2}

例 2-6 某放射性元素半衰期 3 年。經過幾年後剩不到原來的

10%

？

(\frac{1}{2})^{t /3} < 0.1 \Rightarrow - \frac{t}{3} lo g 2 < - 1 \Rightarrow t > \frac{3}{0.3010} \approx 9.97

。超過 9.97 年，即第 10 年起

例 2-7 某地人口年成長率

5%

，幾年後人口超過現在的 2 倍？

1.0 5^{t} > 2 \Rightarrow t > \frac{lo g 2}{lo g 1.05} = \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2

。第 15 年（需

t \geq 15

）

例 2-8 設

\frac{1}{2} < a < 1

，比較

lo g a

、

lo g (a^{2})

、

(lo g a)^{2}

的大小。

lo g a \in (- 0.302, 0)

為負；

lo g (a^{2}) = 2 lo g a

更負；

(lo g a)^{2} > 0

。

lo g (a^{2}) < lo g a < (lo g a)^{2}

多項式函數：除法、方程式與不等式

第一冊　★★☆

核心公式

除法原理

f (x) = d (x) q (x) + r (x)

，

de g r < de g d

de g f = de g d + de g q

餘式・因式定理

f (x) \div (x - a)

的餘式

= f (a)

(x - a) ∣ f (x) ⟺ f (a) = 0

；除式

a x - b

時餘式

= f (\frac{b}{a})

★ 除以二次以上的餘式除以

(x - p) (x - q)

：設餘式

= a x + b

，代

x = p, q

解聯立除以

(x - p)^{2}

：設

a x + b

，用

f (p)

與「

f (x) - r (x)

有重根」或微分概念

綜合除法除式只能是

x - a

；若為

2 x - 1

，先寫成

2 (x - \frac{1}{2})

，商再除以 2、餘式不變

有理根檢驗整係數

a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}

的有理根

\frac{p}{q}

（最簡）滿足

p ∣ a_{0}

、

q ∣ a_{n}

勘根定理

f

為多項式，

f (a) f (b) < 0 \Rightarrow (a, b)

中至少一實根逆敘述不成立（

f (a) f (b) > 0

也可能有兩根）

二次函數

y = a (x - h)^{2} + k

，頂點

(h, k)

，對稱軸

x = h

；

h = - \frac{b}{2 a}

D = b^{2} - 4 a c

：

> 0

相異兩根｜

= 0

重根｜

< 0

無實根

根與係數（二次）

α + β = - \frac{b}{a}

，

α β = \frac{c}{a}

α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β

；

∣ α - β ∣ = \frac{D}{∣ a ∣}

根與係數（三次）

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

\sum α = - \frac{b}{a}

，

\sum α β = \frac{c}{a}

，

α β γ = - \frac{d}{a}

閉區間極值

y = f (x)

在

[p, q]

：比較頂點（若在區間內）與兩端點三個值對稱軸在區間外時，極值必在端點（此時函數在區間上單調）

三次函數的圖形

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

有對稱中心（拐點），其

x = - \frac{b}{3 a}

大域由最高次項決定；任意三次函數皆為

y = a x^{3} + p x

的平移

★★ 一次近似（E1 考了兩次）把

f (x)

改寫成

(x - a)

的冪次：

f (x) = c_{n} (x - a)^{n} + \dots + c_{2} (x - a)^{2} + c_{1} (x - a) + c_{0}

。一次近似即 $g (x) = c_{1} (x - a) + c_{0}$ 。做法＝連續綜合除法：

f

除以

(x - a)

的餘式是

c_{0}

；商再除以

(x - a)

的餘式是

c_{1}

；再一次得

c_{2}

…。⚠ 這是高中做法，第一二冊沒有微分——不要寫

f^{'} (x)

。幾何意義：

f (x) - g (x) = (x - a)^{2} [\dots]

，所以

y = g (x)

在

x = a

處不會穿過

y = f (x)

；兩者其餘交點由

c_{n} (x - a)^{n - 2} + \dots + c_{2} = 0

決定。

多項式不等式移到一邊 → 因式分解 → 各根切數線 → 最右段與最高次項同號 → 向左逐段變號偶次重根不變號；分式不等式要先通分，不可兩邊同乘含 $x$ 的式子

恆成立條件

a x^{2} + b x + c > 0

對所有

x

⟺ a > 0

且

D < 0

別忘了 $a = 0$ 的退化情形要另外討論

分點公式

P

分

\overline{A B}

為

m : n \Rightarrow P = \frac{n A + m B}{m + n}

；中點

= \frac{A + B}{2}

重心

= \frac{A + B + C}{3}

大考這樣考

① 除以二次式的餘式給「除以

(x - 1) (x - 2)

餘

\dots

、除以

(x - 3) (x - 4) (x - 5)

餘

\dots

」，問除以全部乘積的餘式。做法是把已知翻譯成 $f (1), f (2), \dots$ 的值。

② 三根成等差／等比設三根為

t - d, t, t + d

（等差）或

\frac{t}{r}, t, t r

（等比），代進根與係數。這比硬解方程式快得多。

③ 閉區間極值配參數「

f (x) = x^{2} + b x + c

在

[p, q]

的最大值為

M

，求

b

」——先判對稱軸落在區間左／中／右三種情形。

④ 多選：圖形與係數的關係由圖判

a, b, c

正負：開口看

a

、截距看

c

、對稱軸位置看

- \frac{b}{2 a}

的正負。

綜合除法除式為 $2 x - 1$ 時，商要再除以 2，餘式不變。這一步漏掉，後面全錯。
不等式化簡時不可以兩邊同乘含 $x$ 的式子（正負未知）。要移項通分成單一分式再判號。
「 $f (x) \geq 0$ 恆成立」對二次式是 $a > 0$ 且 $D \leq 0$ ； $a$ 帶參數時 $a = 0$ 要單獨檢查。
勘根定理只能保證「有根」，不能保證「只有一根」；問根的個數要配合增減或圖形。

對應例題

例 3-1 求

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5

除以

x - 2

的餘式。

f (2) = 8 - 8 + 6 - 5

。餘式

= 1

例 3-2

f (x)

除以

x - 1

餘

3

、除以

x - 2

餘

5

，求除以

(x - 1) (x - 2)

的餘式。設餘式

= a x + b

：

a + b = 3

、

2 a + b = 5 \Rightarrow a = 2, b = 1

。

2 x + 1

例 3-3 求

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

在

[0, 3]

的最大值與最小值。

= (x - 2)^{2} - 3

，頂點

x = 2 \in [0, 3]

；

f (2) = - 3

、

f (0) = 1

、

f (3) = - 2

。最大 1、最小

- 3

例 3-4 解

(x + 1) (x - 2)^{2} (x - 4) < 0

。根

- 1, 2, 4

；

x = 2

為偶次重根不變號。

x > 4

為正，向左依序

-, -, +

。

- 1 < x < 4

且

x \neq = 2

例 3-5 證明

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

在

0

與

1

之間有實根。

f (0) = 1 > 0

、

f (1) = - 1 < 0

，故

f (0) f (1) < 0

。由勘根定理，

(0, 1)

中至少有一實根

例 3-6

x^{2} + 2 x + k > 0

對所有實數

x

恆成立，求

k

。

a = 1 > 0

，需

D = 4 - 4 k < 0

。

k > 1

例 3-7

x^{3} + p x + q = 0

的三根成等差且其中一根為

0

，求

q

。三根和

= 0

（無

x^{2}

項）；設三根

t - d, t, t + d

⇒

3 t = 0 \Rightarrow t = 0

，三根為

- d, 0, d

。

α β γ = - q = 0

。

q = 0

例 3-8 求

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5

在

x = 1

附近的一次近似式。連續綜合除法（除數 1）：

[1, - 2, 0, 5] \to

餘

c_{0} = 4

、商

[1, - 1, - 1]

；再除得餘

c_{1} = - 1

。

g (x) = - (x - 1) + 4 = - x + 5

例 3-9 三次多項式

f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c

在

x = - 1

附近的一次近似為

y = 2 x + 3

，且

y = f (x)

與此直線在

x = 0

另有交點。求

(a, b, c)

。設

f (x) = 2 (x + 1)^{3} + s (x + 1)^{2} + t (x + 1) + u

，一次近似

t (x + 1) + u = 2 x + 3

⇒

t = 2, u = 3

。

f (x) - (2 x + 3) = 2 (x + 1)^{3} + s (x + 1)^{2} = (x + 1)^{2} (2 x + 2 + s)

；

x = 0

為交點 ⇒

2 + s = 0 \Rightarrow s = - 2

。
展開

f (x) = 2 (x + 1)^{3} - 2 (x + 1)^{2} + 2 x + 3 = 2 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 3

。

(a, b, c) = (4, 4, 3)

例 3-10 將七進位數

(2503)_{7}

化為十進位。

n

進位制的每位數就是多項式係數：令

f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} + 0 x + 3

，所求

= f (7)

，用綜合除法一路帶下去。

686 + 245 + 0 + 3 = 934

直線與圓

第一冊　★★☆

核心公式

斜率與斜角

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

（

x_{1} \neq = x_{2}

）；鉛直線斜率不存在斜角

θ \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})

，

m = tan θ

直線方程式點斜式

y - y_{1} = m (x - x_{1})

；截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

一般式

a x + b y + c = 0

，斜率

- \frac{a}{b}

、法向量

(a, b)

平行與垂直平行

m_{1} = m_{2}

；垂直

m_{1} m_{2} = - 1

與

a x + b y + c = 0

平行者設

a x + b y + k = 0

；垂直者設

b x - a y + k = 0

距離點到直線

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

兩平行線

d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

（兩式的 $a, b$ 必須先化成一樣）

★ 垂足坐標（不只算距離，要求出那個點）

A

到

L : a x + b y + c = 0

的垂足

P

：過

A

作垂線

M : b x - a y = k

（代

A

求

k

），再解

L, M

聯立

\overline{A P}

最小

⟺ P

為垂足；

A

對

L

的對稱點

= 2 P - A

面積與特殊點

△ = \frac{1}{2} x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2})

重心

= (\frac{\sum x}{3}, \frac{\sum y}{3})

；也可用「底

\times

高

\div 2

」配點到直線距離

對稱

P

對直線

L

的對稱點

P^{'}

：

\overline{P P^{'}} ⊥ L

且中點在

L

上對

x

軸

(x, - y)

｜對

y

軸

(- x, y)

｜對原點

(- x, - y)

｜對

y = x

的

(y, x)

二元一次不等式

a x + b y + c > 0

為半平面：畫界線（不含等號用虛線）後代原點測試多個不等式的交集＝可行區域，頂點由兩兩聯立求得

圓方程式標準式

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

一般式

x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0

，心

(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})

，

r = \frac{1}{2} D^{2} + E^{2} - 4 F

是不是圓

D^{2} + E^{2} - 4 F > 0

才是圓；

= 0

為一點；

< 0

為空集合

直線與圓（

d

＝心到線距離）

d < r

兩交點｜

d = r

相切｜

d > r

不相交弦長

ℓ = 2 r^{2} - d^{2}

（不要硬解交點）

切線三型① 圓

x^{2} + y^{2} = r^{2}

上一點

(x_{0}, y_{0})

：

x_{0} x + y_{0} y = r^{2}

② 已知斜率

m

：

y = m x \pm r 1 + m^{2}

（一般圓先平移）
③ 圓外一點：設點斜式解

d = r

，再單獨檢查鉛直線 $x = x_{0}$

★ 距離最值圓上動點到圓外定點：最大

= d + r

、最小

= d - r

圓上動點到直線：最大

= d + r

、最小

= ∣ d - r ∣

大考這樣考

① 兩軸圍成的三角形面積直線

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

與兩軸圍成面積

= \frac{1}{2} ∣ ab ∣

。給兩條斜率不同的直線比面積差，是 114 學測數 A 第 2 題的原型。

② 動點的內積／距離最值

P

在圓上、

A

為定點，問

O A \cdot O P

或

\overline{A P}

的範圍——一律轉成「圓心到某條線／某點的距離 $\pm r$ 」。

③ 可行區域配圓（E1 題組型）先由圖判可行區域是哪組不等式（代一個已知在區域內的點測試），再問「以某點為心、完全落在區域內的最大圓」＝該點到各邊界距離取最小；接著問「圓與兩直線交於相異三點」＝與一線相切、與另一線交兩點，或恰過兩線交點，要分類討論。

④ 三角形內部的聯立不等式三直線圍成的三角形「內部含邊界」＝三個不等式的交集。每一條的方向都用「代入對面那個頂點」判定（該頂點必須讓不等式成立）。常接著問外接圓（直角三角形時心在斜邊中點）與內切圓（

r = \frac{2△}{a + b + c}

），再問兩圓心連線的方程式。

⑤ 線段是否被遮擋給幾道「牆」（線段），問從哪個點看得到目標。做法是求連線與各牆所在直線的交點，再檢查交點是否落在牆的線段範圍內。

⑥ 可行區域找極值目標式

k = p x + q y

在多邊形可行區域上的極值必在頂點；把每個頂點代進去比大小即可。

算兩平行線距離前，先把兩式的 $x, y$ 係數化成完全相同（例如 $6 x + 8 y + 2 = 0$ 要先除以 2）。
過圓外一點的切線有兩條；用點斜式會漏掉鉛直線，答案只寫一條就是掉在這裡。
一般式判斷是否為圓， $D^{2} + E^{2} - 4 F > 0$ 一定要驗，題目常用這個設計「無解」的陷阱。
「弦長」「切線長」「圓心距」三個詞不要混：切線長 $= d^{2} - r^{2}$ （ $d$ ＝點到圓心距離）。

對應例題

例 4-1 求圓

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

的圓心與半徑。心

(2, - 3)

，

r = \frac{1}{2} 16 + 36 + 48 = \frac{1}{2} 100

。心

(2, - 3)

、

r = 5

例 4-2 求圓

x^{2} + y^{2} = 25

上一點

(3, 4)

的切線。套

x_{0} x + y_{0} y = r^{2}

。

3 x + 4 y = 25

例 4-3 直線

y = x + k

與圓

x^{2} + y^{2} = 8

相切，求

k

。

x - y + k = 0

，

d = \frac{∣ k ∣}{2} = 22 \Rightarrow ∣ k ∣ = 4

。

k = \pm 4

例 4-4 求直線

3 x - 4 y + 5 = 0

被圓

x^{2} + y^{2} = 25

截出的弦長。

d = \frac{5}{5} = 1

，

ℓ = 2 25 - 1

。

46

例 4-5 求兩平行線

3 x + 4 y - 2 = 0

與

6 x + 8 y + 16 = 0

的距離。後式先除以 2 得

3 x + 4 y + 8 = 0

；

d = \frac{∣ - 2 - 8∣}{5}

。

2

例 4-6 圓

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

上的點到直線

3 x + 4 y + 3 = 0

的最大距離。心到線

d = \frac{∣3 + 8 + 3∣}{5} = \frac{14}{5}

；最大

= d + r

。

\frac{14}{5} + 2 = \frac{24}{5}

例 4-7 求點

A (5, 5)

到圓

x^{2} + y^{2} = 9

的切線長。

d = 50

，切線長

= d^{2} - r^{2} = 50 - 9

。

41

例 4-8 直線

\frac{x}{a} + \frac{y}{2 a} = 1

（

a > 0

）與兩軸圍成的三角形面積為

9

，求

a

。面積

= \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2 a = a^{2} = 9

。

a = 3

例 4-9 求

A (2, 4)

到直線

L : x + 2 y = 5

的垂足坐標。過

A

且垂直

L

的直線

M : 2 x - y = 2 (2) - 4 = 0

。解

{x + 2 y = 5 2 x - y = 0

。

P (1, 2)

例 4-10 承上，求

A

對直線

L

的對稱點。垂足是

A

與對稱點的中點：

A^{'} = 2 P - A = (2 - 2, 4 - 4)

。

A^{'} (0, 0)

例 4-11 兩直線

L : x - y + 1 = 0

、

M : 2 x + y - 1 = 0

圍出含

A (0, - 2)

的區域。(1) 以

A

為心、完全落在區域內的圓，最大面積為何？(2) 以

A

為心的圓與

L, M

交於相異三點，求所有可能的

r

。 (1)

d (A, L) = \frac{3}{2}

、

d (A, M) = \frac{3}{5}

，取較小者為半徑。面積

= \frac{9 π}{5}

　(2) 只有兩種情形：①與較遠的 $L$ 相切、與 $M$ 交兩點 ⇒

r = \frac{3 2}{2}

；②圓恰過 $L, M$ 的交點 $(0, 1)$ （該點同時算在兩線上）⇒

r = 3

。

r = \frac{3 2}{2}

或

3

數列與級數

第二冊　★★☆

核心公式

等差數列

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

；

a_{n} = a_{m} + (n - m) d

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

等比數列

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

；

a_{n} = a_{m} r^{n - m}

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}

（

r \neq = 1

）；

r = 1

時

S_{n} = n a_{1}

中項等差中項：

b = \frac{a + c}{2}

（唯一）等比中項：

b^{2} = a c \Rightarrow b = \pm a c

（兩解）

常用求和

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

；

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2}

$Σ$ 的性質

\sum (a_{k} \pm b_{k}) = \sum a_{k} \pm \sum b_{k}

；

\sum c a_{k} = c \sum a_{k}

；

\sum_{k = 1}^{n} c = n c

\sum_{k = m}^{n} = \sum_{k = 1}^{n} - \sum_{k = 1}^{m - 1}

（換下標時最常算錯）

分項對消

\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

；

\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

\frac{1}{k + 1 + k} = k + 1 - k

一階遞迴

a_{n + 1} = p a_{n} + q

（

p \neq = 1

）解不動點

x = p x + q

，則

{a_{n} - x}

為公比

p

的等比數列

\Rightarrow a_{n} = (a_{1} - x) p^{n - 1} + x

疊加型遞迴

a_{n + 1} = a_{n} + f (n) \Rightarrow a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} f (k)

a_{n + 1} = a_{n} \cdot g (n) \Rightarrow a_{n} = a_{1} \prod_{k = 1}^{n - 1} g (k)

$a_{n}$ 與 $S_{n}$

a_{1} = S_{1}

；

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

（僅 $n \geq 2$ ）求出通式後一定回頭驗 $n = 1$ ，再決定能否合併成一式

數學歸納法① 驗

n = 1

成立　② 假設

n = k

成立　③ 用②推得

n = k + 1

成立第③步沒用到假設＝沒證明，過程分會扣光

常見情境模型複利存款：期末

A = P (1 + i)^{n}

｜年金（每期存 $P$ ）：

A = P \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}

（等比級數和）｜分期付款：借款

B

、每期還

R

，餘額

b_{n + 1} = b_{n} (1 + i) - R

（一階遞迴）｜倍增／衰減：

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

配

lo g

解「第幾期超過」。

大考這樣考

① 等比性質多選給正等比

a, b, c, d, e

（公比

r > 1

），判斷

a, - b, c, - d, e

（公比

- r

，仍等比 ✓）、取倒數（公比

\frac{1}{r}

✓）、各項平方（公比

r^{2}

✓）、各項取

lo g

（變等差）。

② 遞迴配情境兩人相向而行、水塔進出水、藥物代謝——先把文字翻成

a_{n + 1} = p a_{n} + q

，再用不動點。

③ 等差等比綜合「三數成等差，加上某數後成等比」——設

t - d, t, t + d

再列式，比設三個未知數快。

④ 級數求和的選填分項對消與

\sum k^{2}

混用；算完務必代 $n = 1, 2$ 驗證，選填題全對才給分。

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 只對 $n \geq 2$ 成立， $n = 1$ 一定要單獨驗。歷屆 E2 的非選評分原則把「驗 $n = 1$ 」單獨算 1 分——漏寫就直接少一分。
等比求和忘記討論 $r = 1$ ；等比中項有 $\pm$ 兩解。
$\sum_{k = 3}^{10}$ 這種下標不從 1 開始的，項數是 $10 - 3 + 1 = 8$ 項，不是 7 項。
「第 $n$ 年底」與「第 $n$ 年後」差一期，複利與分期付款題最常栽在這裡。

對應例題

例 5-1 等差數列

a_{3} = 7

、

a_{7} = 19

，求

a_{10}

與

S_{10}

。

4 d = 12 \Rightarrow d = 3

、

a_{1} = 1

；

a_{10} = 28

，

S_{10} = \frac{10 ( 1 + 28 )}{2}

。

a_{10} = 28

、

S_{10} = 145

例 5-2 求

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}

。

(1 - \frac{1}{2}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

。

\frac{n}{n + 1}

例 5-3

a_{1} = 1

、

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3

，求

a_{n}

。不動點

x = 2 x + 3 \Rightarrow x = - 3

；

a_{n} + 3 = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}

。

a_{n} = 2^{n + 1} - 3

例 5-4 等比數列

a_{2} = 6

、

a_{5} = 48

，求

r

與

S_{6}

。

r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2

、

a_{1} = 3

；

S_{6} = \frac{3 ( 2 ^{6} - 1 )}{1}

。

r = 2

、

S_{6} = 189

例 5-5 數列前

n

項和

S_{n} = n^{2} + 2 n

，求

a_{n}

。

n \geq 2

：

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n + 1

；

n = 1

：

a_{1} = S_{1} = 3 = 2 (1) + 1

✓ 可合併。

a_{n} = 2 n + 1

例 5-6 求

k = 3 \sum 10 (k^{2} + 1)

。

\sum_{k = 1}^{10} - \sum_{k = 1}^{2} = (385 + 10) - (5 + 2)

。

388

例 5-7 正等比數列

a, b, c

公比

r > 1

。判斷

lo g a, lo g b, lo g c

成何種數列。

lo g b - lo g a = lo g r = lo g c - lo g b

，差為定值。公差

lo g r

的等差數列

例 5-8 存入 10 萬元，年利率

2%

複利，幾年後本利和首次超過 12 萬？（

lo g 1.02 \approx 0.0086

，

lo g 1.2 \approx 0.0792

）

1.0 2^{n} > 1.2 \Rightarrow n > \frac{0.0792}{0.0086} \approx 9.2

。第 10 年

數據分析：一維與二維

第二冊　★★★ 高比重

核心公式

平均數

μ = \frac{1}{n} \sum x_{i}

；加權平均

μ = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}

兩組合併：

μ = \frac{n _{1} μ _{1} + n _{2} μ _{2}}{n _{1} + n _{2}}

變異數與標準差

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - μ)^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - μ^{2}

合併：

σ^{2} = \frac{n _{1} ( σ _{1}^{2} + μ _{1}^{2} ) + n _{2} ( σ _{2}^{2} + μ _{2}^{2} )}{n _{1} + n _{2}} - μ^{2}

線性變換（

y = a x + b

）

μ_{y} = a μ_{x} + b

；

σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}

（加常數不影響標準差）中位數、百分位數同樣

\to a \cdot + b

（

a > 0

時；

a < 0

會上下顛倒）

標準化

z_{i} = \frac{x _{i} - μ}{σ} \Rightarrow μ_{z} = 0, σ_{z} = 1

比較不同科目表現，一律先化成

z

分數

百分位數 $P_{k}$ 資料排序後令

i = \frac{nk}{100}

：

i

不是整數

\Rightarrow

取第

⌈ i ⌉

筆

i

是整數

\Rightarrow

取第

i

與第

i + 1

筆的平均

四分位與盒狀圖

Q_{1} = P_{25}

、

Q_{2} = P_{50}

（中位數）、

Q_{3} = P_{75}

I QR = Q_{3} - Q_{1}

；離群值：小於

Q_{1} - 1.5 I QR

或大於

Q_{3} + 1.5 I QR

共變異數與相關係數

Cov = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - μ_{x}) (y_{i} - μ_{y})

r = \frac{Cov}{σ _{x} σ _{y}}

，

- 1 \leq r \leq 1

迴歸直線（最小平方法）

y - μ_{y} = r \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}} (x - μ_{x})

必過

(μ_{x}, μ_{y})

；斜率與

r

同號；

r = \pm 1

時所有點共線

$r$ 的不變性

x \to a x + b

、

y \to cy + d

：

∣ r ∣

不變

a c > 0

時

r

不變號；

a c < 0

時

r

變號

★ 等差數列的標準差（數列 × 數據分析的交叉考點）等差數列

a_{k} = a_{1} + (k - 1) d

是

k

的一次函數 ⇒ 由線性變換性質，

σ_{a} = ∣ d ∣ \cdot σ (1, 2, \dots, n)

，與首項無關。而

σ (1, 2, \dots, n) = \frac{n ^{2} - 1}{12}

（

n = 3

為

\frac{2}{3}

、

n = 5

為

2

、 $n = 7$ 為 $2$ ）。⇒ 兩個等差數列各取前

n

項，標準差之比 $=$ 公差絕對值之比，連算都不用算。

★ 標準差的最大／最小值（E2 選填題型）用

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - μ^{2}

： $μ$ 被題目固定住時， $σ$ 的大小完全由 $\sum x_{i}^{2}$ 決定。要最大 ⇒ 在所有限制（範圍、大小順序、中位數…）容許下，把數值盡量推向兩端；要最小 ⇒ 讓所有數盡量靠近平均（全部相等時

σ = 0

）。檢查每一條限制都仍成立再下結論——這型題失分幾乎都是漏檢查排序或範圍。

散布圖判讀

r > 0

正相關（右上斜）｜

r < 0

負相關｜

r \approx 0

無線性相關

∣ r ∣

越大點越集中在直線附近，與斜率陡不陡無關

大考這樣考

① 百分位數反查「持

k

顆者有

k

人」這種累積型分布，求

P_{90}

。做法：先算總人數

n

，再算

i = 0.9 n

，判斷整數與否，最後用累積次數定位落在哪一組。

② 加權平均反解比例給甲乙合併平均、乙丙合併平均，求

A : B : C

。列兩條方程式即可，不要去湊實際人數。

③ 迴歸直線多選給兩班的

μ, σ, r

，判斷「哪班平均高」「哪班迴歸線較陡」。斜率

= r \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

， $r$ 大不代表斜率大。

④ 標準化比較「數學 80（

μ = 65, σ = 10

）與英文 75（

μ = 60, σ = 5

）哪科表現好」——

z

分數

1.5

3

，英文。

$r \approx 0$ 只代表沒有線性關係，資料仍可能沿拋物線強烈相關； $r$ 大也不代表因果。
標準差公式分母：課本用 $n$ 。若老師另教樣本標準差（分母 $n - 1$ ），以卷面註明為準。
迴歸直線是「用 $x$ 預測 $y$ 」；把 $x, y$ 對調會得到另一條直線，不能反解回去。
$σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ 的絕對值不能掉； $a$ 為負時標準差仍為正。
百分位數的「 $i$ 剛好是整數」要取兩筆平均——這是每年都有人栽的細節。

對應例題

例 6-1 資料

1, 3, 5, 7, 9

的平均數與標準差。

μ = 5

；

σ^{2} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8

。

μ = 5

、

σ = 22

例 6-2 某組資料

μ = 4, σ = 2

，全部代入

y = 3 x - 2

，求

μ_{y}, σ_{y}

。

μ_{y} = 10

；

σ_{y} = ∣3∣ \cdot 2

。

μ_{y} = 10

、

σ_{y} = 6

例 6-3

μ_{x} = 10, μ_{y} = 50, σ_{x} = 2, σ_{y} = 8, r = 0.75

。求迴歸直線並預測

x = 12

時的

y

。斜率

= 0.75 \times \frac{8}{2} = 3

；

y - 50 = 3 (x - 10)

。

y = 3 x + 20

；預測

56

例 6-4 每筆

x

換成

- 2 x + 5

、

y

不變。若原

r = 0.6

，新的

r

為何？係數為負 ⇒ 只變號、絕對值不變。

- 0.6

例 6-5 全班數學

μ = 65, σ = 10

，小安考 80；英文

μ = 60, σ = 5

，小安考 75。哪科表現較好？

z_{數} = \frac{15}{10} = 1.5

；

z_{英} = \frac{15}{5} = 3

。英文（高出 3 個標準差）

例 6-6 資料

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21

（共 10 筆），求

P_{30}

與

Q_{3}

。

P_{30}

：

i = 3

（整數）⇒ 第 3、4 筆平均

= \frac{7 + 9}{2}

。

Q_{3} = P_{75}

：

i = 7.5

⇒ 取第 8 筆。

P_{30} = 8

、

Q_{3} = 17

例 6-7 甲班 20 人平均 70，乙班 30 人平均 80，求合併平均。

\frac{20 ( 70 ) + 30 ( 80 )}{50} = \frac{1400 + 2400}{50}

。

76

例 6-8 A 班

σ_{x} = 0.6, σ_{y} = 1, r = 0.6

；B 班

σ_{x} = 0.3, σ_{y} = 0.9, r = 0.4

。哪班的迴歸直線較陡？斜率 A

= 0.6 \times \frac{1}{0.6} = 1

；B

= 0.4 \times \frac{0.9}{0.3} = 1.2

。B 班較陡—— $r$ 較小但斜率較大

例 6-9 四個整數

x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4}

，每個都介於

1

與

5

之間且平均為

3

。求標準差的最大值。總和

= 12

固定 ⇒ 只要讓

\sum x_{i}^{2}

最大，即盡量推向兩端：

(1, 1, 5, 5)

（總和

12

✓、排序 ✓）。

\sum x_{i}^{2} = 52

，

σ^{2} = \frac{52}{4} - 9 = 4

。最大值

σ = 2

例 6-10 承上，標準差的最小值是多少？全部靠近平均：

(3, 3, 3, 3)

合乎所有限制。最小值

σ = 0

例 6-11 等差數列

7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5

的標準差。

d = - 2

、

n = 7

：

σ = ∣ - 2∣ \cdot \frac{49 - 1}{12} = 2 \cdot 2

。

σ = 4

例 6-12 兩個等差數列公差分別為

- 2

與

4

，各取前 7 項，求兩者標準差之比

σ_{1} : σ_{2}

。

σ = ∣ d ∣ \cdot \frac{n ^{2} - 1}{12}

，

n

相同 ⇒ 比值

= ∣ - 2∣ : ∣4∣

。

1 : 2

集合・計數原理・排列組合・二項式定理

第二冊　★★★ 高比重

核心公式

集合運算笛摩根律

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}

，

(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}

n

個元素的集合有

2^{n}

個子集合、

2^{n} - 1

個真子集

★ 集合分配計數求「

A \cup B = S

且

n (A \cap B) = k

」的

(A, B)

對數：先選 $k$ 個元素進交集

C_{k}^{n}

，其餘 $n - k$ 個各自只能落在 $A ∖ B$ 或 $B ∖ A$ （兩選一）⇒

C_{k}^{n} \cdot 2^{n - k}

。通則：每個元素獨立地被分配到某幾個區域時，就用乘法原理逐元素算。

取捨原理

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

三集合：

\sum n (A) - \sum n (A \cap B) + n (A \cap B \cap C)

加法／乘法原理互斥的「或」→ 相加；連續步驟的「且」→ 相乘分類要不重不漏；分步要每步的選法數與前面無關

排列

P_{r}^{n} = \frac{n !}{( n - r )!}

；重複排列

n^{r}

環狀排列

(n - 1)!

；項鍊（可翻面）

\frac{( n - 1 )!}{2}

不盡相異物排列

\frac{n !}{p ! q ! \dots}

（相同物各有

p, q, \dots

個）格子路徑（只能右、上）：

(0, 0) \to (m, n)

共

C_{m}^{m + n}

條

組合

C_{r}^{n} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

；

C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n}

巴斯卡：

C_{r}^{n} + C_{r + 1}^{n} = C_{r + 1}^{n + 1}

重複組合

H_{r}^{n} = C_{r}^{n + r - 1}

（

n

種物取

r

個，可重複、不計順序）＝方程式

x_{1} + \dots + x_{n} = r

的非負整數解個數

★ 分組與分堆各堆個數互異：連乘組合即可有 $m$ 堆個數相同：連乘後再除以 $m!$ ；要分給不同的人：分堆數再乘

k!

二項式定理

(x + y)^{n} = k = 0 \sum n C_{k}^{n} x^{n - k} y^{k}

，通項

C_{k}^{n} x^{n - k} y^{k}

求指定項：讓

x

的次數等於目標，解出

k

再代入

二項係數恆等式

\sum_{k = 0}^{n} C_{k}^{n} = 2^{n}

（令

x = y = 1

）；

\sum (- 1)^{k} C_{k}^{n} = 0

\Rightarrow

奇數項和

=

偶數項和

= 2^{n - 1}

★★ 受限排列與窮舉（E2 非選題組兩屆都考這一塊）錯位排列 $D_{n}$ ＝每個元素都不在指定位置的排法數：

D_{1} = 0, D_{2} = 1, D_{3} = 2, D_{4} = 9, D_{5} = 44

；遞迴

D_{n} = (n - 1) (D_{n - 1} + D_{n - 2})

。多人多輪、每輪互不重複的情境（每晚住不同房、每天去不同城市）：先把其中一人的順序固定（再乘上他的排法數），其餘人就變成對他的錯位排列，規模立刻降下來。規模小（ $\leq 4$ ）就直接畫樹狀圖窮舉——非選題的評分原則接受窮舉，而且畫得出樹狀圖就有分。

三大常用手法相鄰→ 捆綁成一個單位，最後乘上單位內部的排列數｜不相鄰→ 先排其他人，再把限制對象插入空隙｜至少／至多→ 算餘事件（全部減掉不合的）。

大考這樣考

① 分塊排列＋塊序限制「歌唱 5 人、鋼琴 4 人、小提琴 3 人各自連在一起，且歌唱不排最前」——先算塊內

5! 4! 3!

，再算塊序

3! - 2 = 4

，相乘。

② 恰好 $k$ 種「4 次抽取恰出現 3 種款式」＝選 3 款

\times

決定哪款重複

\times

排列

\frac{4 !}{2 !}

。「恰好」一定要指定重複的是誰。

③ 中位數配組合把「甲的中位數比乙大 1」翻譯成「小於某數的元素恰有幾個」，再用組合數表示分法。

④ 二項式指定項

(2 x - \frac{1}{x})^{6}

的常數項——通項寫清楚，

x

的次數列成一次方程式解

k

。負號要跟著 $(- 1)^{k}$ 一起帶。

第一個要問的永遠是「要不要分辨順序」：要 → 排列；不要 → 組合。
分組問題若「組與組不加以區別」，最後要除以相同人數組數的階乘；要分給指定的人時則要再乘回去。
「0 不能在首位」的數字題，先排首位再排其餘，不要最後才扣。
取捨算「至少一個」時容易漏掉三重交集那一項（正負號交錯）。
重複組合 $H_{r}^{n}$ 的 $n$ 是種類數、 $r$ 是取的個數，兩者順序寫反就全錯。

對應例題

例 7-1 由

1, 2, 3, 4, 5

取相異三數排成三位偶數，共幾個？個位須為

2

或

4

（2 種），其餘

P_{2}^{4} = 12

。

24

個

例 7-2 8 人圍圓桌，甲乙必相鄰，共幾種坐法？捆綁後 7 單位圓排列

(7 - 1)! = 720

，再乘

2!

。

1440

種

例 7-3 求

(2 x - \frac{1}{x})^{6}

的常數項。通項

C_{k}^{6} (2 x)^{6 - k} (- \frac{1}{x})^{k}

，

6 - 2 k = 0 \Rightarrow k = 3

：

C_{3}^{6} \cdot 2^{3} \cdot (- 1)^{3}

。

- 160

例 7-4 5 顆相同的糖分給 3 人（可有人沒拿到），共幾種？

H_{5}^{3} = C_{5}^{7}

。

21

種

例 7-5 6 個相異物平分成 3 堆（堆不分先後），共幾種分法？

C_{2}^{6} C_{2}^{4} C_{2}^{2} = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90

；三堆個數相同 ⇒ 除以

3! = 6

。

15

種

例 7-6 承上，若改成分給甲乙丙三人（每人 2 個），共幾種？分堆 15 種再乘

3!

，或直接

C_{2}^{6} C_{2}^{4} C_{2}^{2}

。

90

種

例 7-7 5 男 3 女排成一列，3 位女生互不相鄰，共幾種？先排 5 男

5! = 120

，產生 6 個空隙，插入 3 女

P_{3}^{6} = 120

。

120 \times 120 = 14400

種

例 7-8

1 \sim 100

中是 3 或 5 的倍數者有幾個？

33 + 20 - ⌊ \frac{100}{15} ⌋ = 33 + 20 - 6

。

47

個

例 7-9 4 人各帶一份禮物來交換，若沒有人拿到自己帶的，共幾種分法？錯位排列

D_{4}

。（驗算：

D_{4} = 3 (D_{3} + D_{2}) = 3 (2 + 1)

）

9

種

例 7-10 甲、乙、丙三人要在連續 3 天內各拜訪

A, B, C

三城各一次，且每天三人在不同城市。若甲的行程固定為

A \to B \to C

，求乙、丙的行程安排共幾種。乙的三天必為

A, B, C

的重排，且第

i

天不能與甲相同 ⇒ 對甲的錯位排列

D_{3} = 2

種（

B \to C \to A

與

C \to A \to B

）。乙定了之後，丙每天只剩唯一的城市 ⇒ 各 1 種。

2 \times 1 = 2

種
若城市改成 4 個、甲固定

A \to B \to C \to D

，乙的安排數就是

D_{4} = 9

——非選題常在這裡把規模加大一級。

例 7-12 設

S = {1, 2, 3, 4, 5}

。求滿足

A \cup B = S

且

n (A \cap B) = 2

的有序集合對

(A, B)

共幾組。先選 2 個進交集

C_{2}^{5} = 10

；其餘 3 個各自二選一（只在

A

或只在

B

）

= 2^{3} = 8

。

10 \times 8 = 80

組

例 7-11 8 人平分成 4 組（每組 2 人，組與組不分先後）。求「甲乙不同組且丙丁不同組」的分法數。全部分法

= \frac{C _{2}^{8} C _{2}^{6} C _{2}^{4} C _{2}^{2}}{4 !} = \frac{28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1}{24} = 105

。
甲乙同組（剩 6 人分 3 組）

= \frac{C _{2}^{6} C _{2}^{4} C _{2}^{2}}{3 !} = 15

；丙丁同組同理

= 15

；兩者同時發生（剩 4 人分 2 組）

= \frac{C _{2}^{4} C _{2}^{2}}{2 !} = 3

。
取捨：

105 - 15 - 15 + 3

。

78

種

機率與期望值

第二冊　★★★ 高比重

核心公式

古典機率樣本空間

S

中每個結果等機會時

P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}

，且

0 \leq P (A) \leq 1

餘事件

P (A^{c}) = 1 - P (A)

「至少」「並非全部」「不都是」一律先想這條

加法定理

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

互斥

\Rightarrow P (A \cap B) = 0

；三事件同取捨原理

獨立事件

A, B

獨立

⟺ P (A \cap B) = P (A) P (B)

⚠ 獨立

\neq =

互斥（機率皆非 0 的互斥事件必不獨立）

重複試驗（二項）每次成功機率

p

，

n

次中恰

k

次成功：

C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

「至少一次」

= 1 - (1 - p)^{n}

期望值

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

，其中

\sum p_{i} = 1

線性：

E (a X + b) = a E (X) + b

；公平賭局

⟺ E = 0

抽樣兩型放回：每次獨立，直接連乘不放回：用組合

\frac{C \dots}{C _{r}^{n}}

，或逐次調整分母

幾何機率樣本空間為連續區域時，

P = \frac{符合條件的長度／面積}{全部的長度／面積}

先把條件寫成

x, y

的不等式，再畫可行區域算面積比

大考這樣考

① 獨立性反解參數「袋中

k

顆某色球，使『抽到藍球』與『抽到 1 號』獨立」——直接列

P (A \cap B) = P (A) P (B)

解

k

。114 學測數 A 第 1 題就是這型。

② 期望值配剩餘數量抽獎題常給「前 100 人已抽走幾張」，要你算第 101 人的期望值——分母要用剩下的球數。

③ 幾何機率「在正方形內任取一點，使某條件成立」——把條件化成不等式，畫出區域算面積比。答案常是分數不是小數。

④ 機率配代數「隨機取

a, b

使方程組無解／無窮多解」——先解出代數條件（例如

ab = 6

），再數符合的

(a, b)

組數。

算機率前先確定樣本空間是否等機率。「兩顆骰子點數和」共 36 種等機率結果，不是 11 種。
分子分母要用同一種計數方式：都分辨順序，或都不分辨。混用是這章第一名的錯法。
期望值題目的「淨得」要把支出寫成負數。
「恰好一次」與「至少一次」差很多；後者用餘事件，前者要用 $C_{k}^{n}$ 。
條件機率與貝氏定理屬 11 年級（數 A 第三冊），不在這次的第一～二冊範圍——遇到不用慌，那不是你該會的。

對應例題

例 8-1 擲兩顆公正骰子，點數和為 7 的機率。

n (S) = 36

；和為 7 有 6 種。

\frac{1}{6}

例 8-2 袋中 5 紅 3 白，任取 2 球，至少 1 白的機率。餘事件（兩球全紅）

= \frac{C _{2}^{5}}{C _{2}^{8}} = \frac{10}{28}

。

\frac{9}{14}

例 8-3 擲一骰，出現 6 得 60 元，否則付 6 元。求每次期望淨得。

E = \frac{1}{6} (60) + \frac{5}{6} (- 6) = 10 - 5

。

5

元

例 8-4 投籃命中率

0.6

，投 4 球恰中 3 球的機率。

C_{3}^{4} (0.6)^{3} (0.4)

。

0.3456

例 8-5 袋中 5 紅 3 白，不放回連續取兩球，兩球皆紅的機率。

\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}

。

\frac{5}{14}

例 8-6 甲乙丙獨立解同一題，成功機率各為

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}

，求至少一人解出的機率。餘事件（三人全失敗）

= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

。

\frac{3}{4}

例 8-7 袋中共

9 + k

顆球，其中藍球 5 顆、編號為 1 的球 6 顆、既是藍球又編號 1 的有 2 顆。若「抽到藍球」與「抽到編號 1」為獨立事件，求

k

。

\frac{2}{9 + k} = \frac{5}{9 + k} \cdot \frac{6}{9 + k} \Rightarrow 2 (9 + k) = 30

。

k = 6

例 8-8 在區間

[0, 1]

中隨機取

x, y

，求

x + y < 1

的機率。樣本空間為單位正方形（面積 1），符合條件的是下三角形（面積

\frac{1}{2}

）。

\frac{1}{2}

三角比：廣義角、正弦與餘弦定理

第二冊　★★☆

核心公式

銳角三角比

sin = \frac{對邊}{斜邊}

，

cos = \frac{鄰邊}{斜邊}

，

tan = \frac{對邊}{鄰邊}

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

邊長比

1 : 3 : 2

；

4 5^{\circ}

4 5^{\circ}

9 0^{\circ}

為

1 : 1 : 2

特殊角

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

、

sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

、

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

、

tan 4 5^{\circ} = 1

、

tan 6 0^{\circ} = 3

廣義角定義終邊上取一點

(x, y)

，

r = x^{2} + y^{2}

sin θ = \frac{y}{r}

、

cos θ = \frac{x}{r}

、

tan θ = \frac{y}{x}

象限正負（全 S T C）第一象限全正｜第二只

sin

正｜第三只

tan

正｜第四只

cos

正

平方關係

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

；

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ

誘導公式

sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ

，

cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ

sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ

，

sin (- θ) = - sin θ

，

cos (- θ) = cos θ

正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

（

R

＝外接圓半徑）

\Rightarrow a : b : c = sin A : sin B : sin C

餘弦定理

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

（已知三邊求角用這條）

三角形面積（四式）

△ = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{ab c}{4 R} = r s

（

r

＝內切圓半徑，

s

＝半周長）海龍：

s (s - a) (s - b) (s - c)

，

s = \frac{a + b + c}{2}

★ 內切圓與外接圓半徑（E2 招牌考法）由

△ = r s

（

s = \frac{a + b + c}{2}

）得 $r = \frac{2△}{a + b + c}$ ；由

△ = \frac{ab c}{4 R}

得 $R = \frac{ab c}{4△}$ 。兩圓面積比

= (\frac{R}{r})^{2}

。直角三角形時

R = \frac{斜邊}{2}

，可直接省一步。

正射影定理

a = b cos C + c cos B

（三式輪換）用途：把「投影長」的敘述直接翻成邊角關係

斜率與斜角直線斜角

θ \Rightarrow

斜率

m = tan θ

m > 0 \Rightarrow θ

銳角；

m < 0 \Rightarrow θ

鈍角

極坐標

(r, θ) \to (x, y)

：

x = r cos θ

、

y = r sin θ

(x, y) \to (r, θ)

：

r = x^{2} + y^{2}

、

tan θ = \frac{y}{x}

（要看象限決定 $θ$ ）

★ 解三角形四型（判斷要用哪個定理）SSS（三邊）→ 餘弦定理求角，唯一解｜SAS（兩邊夾角）→ 餘弦定理求第三邊，唯一解｜ASA／AAS（兩角一邊）→ 內角和補第三角，再用正弦定理，唯一解｜SSA（兩邊及非夾角）→ 正弦定理，可能無解／一解／兩解，必須逐一檢驗。

大考這樣考

① 判斷最大角是銳角還是鈍角三邊為

n, n + 1, n + 2

時，最大角的

cos = \frac{n - 3}{2 n}

——正負由 $n$ 與 3 的大小決定。這種「用

cos

的正負判銳鈍」是多選題常客。

② 正弦定理兩解給

A

、

a

、

b

求

B

：算出

sin B

後，

B

與

18 0^{\circ} - B

都要檢查（用「大邊對大角」與「內角和

< 18 0^{\circ}

」）。

③ 三角測量仰角、俯角、方位角配等腰三角形；常需畫圖後用兩個直角三角形共用一個高來列式。

④ 面積與外接圓混合同一題內連續用

\frac{1}{2} ab sin C

與

\frac{a}{s i n A} = 2 R

；先畫圖標好哪個角對哪個邊再套。

正弦定理求角可能有兩解： $sin$ 值在 $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ 內對應 $B$ 與 $18 0^{\circ} - B$ 。已知兩邊及其夾角時改用餘弦定理，就不會有兩解問題。
$sin θ$ 在 $0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ 恆為正，所以由 $sin$ 分不出銳角或鈍角；要靠 $cos$ 的正負。
面積用 $\frac{1}{2} ab sin C$ 時， $C$ 必須是 $a, b$ 的夾角。
$tan 9 0^{\circ}$ 不存在；用 $tan$ 解題前先確認角不是 $9 0^{\circ}$ （鉛直線沒有斜率也是同一件事）。
答案要化成最簡根式並有理化： $\frac{7}{3}$ 要寫成 $\frac{7 3}{3}$ 。

對應例題

例 9-1

△ A B C

中

a = 7, b = 5, c = 3

，求

∠ A

。

cos A = \frac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = - \frac{1}{2}

。

A = 12 0^{\circ}

例 9-2 承上，求面積與外接圓半徑

R

。

△ = \frac{1}{2} (5) (3) sin 12 0^{\circ}

；

2 R = \frac{7}{s i n 12 0 ^{\circ}}

。

\frac{15 3}{4}

；

R = \frac{7 3}{3}

例 9-3

△ A B C

中

A = 3 0^{\circ}

、

a = 1

、

b = 2

，求

B

。

sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{2}{2}

⇒

B = 4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

；

b > a \Rightarrow B > A

，兩者皆合。

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

（兩解）

例 9-4 求

cos 15 0^{\circ} + sin 12 0^{\circ} + tan 13 5^{\circ}

。

- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + (- 1)

。

- 1

例 9-5 在

A

點測塔頂仰角

3 0^{\circ}

，朝塔底前進 20 公尺到

B

，仰角變

6 0^{\circ}

。求塔高。

\frac{h}{tan 3 0 ^{\circ}} - \frac{h}{tan 6 0 ^{\circ}} = 20 \Rightarrow 3 h - \frac{h}{3} = 20

。

h = 103

公尺

例 9-6 平行四邊形兩鄰邊長

6, 8

、夾角

6 0^{\circ}

，求面積與較短的對角線長。面積

= 6 \cdot 8 sin 6 0^{\circ}

；

d^{2} = 36 + 64 - 2 (48) cos 6 0^{\circ} = 52

。

243

；

213

例 9-7 三角形三邊為

n, n + 1, n + 2

（

n

為正整數）。

n

為何值時此三角形為鈍角三角形？最大角對邊

n + 2

：

cos = \frac{n ^{2} + ( n + 1 ) ^{2} - ( n + 2 ) ^{2}}{2 n ( n + 1 )} = \frac{n - 3}{2 n}

。鈍角

⟺ n < 3

；又需成三角形（

n + n + 1 > n + 2 \Rightarrow n > 1

）。

n = 2

例 9-8 已知點

P

的極坐標為

(4, 12 0^{\circ})

，求其直角坐標。

x = 4 cos 12 0^{\circ} = - 2

；

y = 4 sin 12 0^{\circ} = 23

。

(- 2, 23)

例 9-9 三角形三邊長

5, 12, 13

。求內切圓半徑

r

、外接圓半徑

R

，以及兩圓面積比。

5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}

為直角三角形，

△ = \frac{1}{2} (5) (12) = 30

，

s = 15

。

r = \frac{30}{15} = 2

；

R = \frac{13}{2}

。面積比

= (\frac{13/2}{2})^{2}

。

r = 2

、

R = \frac{13}{2}

、外接圓：內切圓

= \frac{169}{16}

例 9-10

△ A B C

中

a = 7, b = 5, c = 6

，求內切圓半徑。海龍：

s = 9

，

△ = 9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 = 66

；

r = \frac{2△}{a + b + c} = \frac{12 6}{18}

。

r = \frac{2 6}{3}

✓

考前 48 小時檢核清單與作答策略

8/31 – 9/2

先看這個：四屆 E2 的優先序

四屆都考、命中率最高的兩個技能：餘式定理／除法原理、標準差與最適直線。先確保這兩個。
前四大題數相近且逐年輪動：排列組合 16、多項式 14、三角比 14、直線與圓 12（四屆合計），全距都跨 2–5 題 ⇒ 押技能不要押章。
數據分析恆為 2 題且公式全給——投報率最高，別跳過。
非選題組四屆落在四個不同單元，112 屆還橫跨三個單元 ⇒ 沒有哪一章可以放棄。

一、每章「一定要會的一題」自我抽考（能默寫解法才算過）

章	非會不可的題型	最常犯的錯
1 數與式	$∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ = k$ 解的個數； $x + \frac{k}{x}$ 求最值；雙重根號	脫根號忘記絕對值；算幾等號取不到
2 指對數	位數／首位數字；成長衰退模型取 $lo g$ ； $0 <$ 底 $< 1$ 的不等式	沒寫定義域；不等式忘記變號； $lo g (a^{2})$ 當成 $(lo g a)^{2}$
3 多項式	除以二次式的餘式；閉區間二次極值；含重根的不等式（畫符號表）；一次近似（連續綜合除法）	重根當成變號；區間端點沒比較；一次近似寫成微分（超綱且會扣分）
4 直線與圓	點到直線距離與垂足坐標；弦長 $2 r^{2} - d^{2}$ ；距離最值 $d \pm r$ ；可行區域＋圓的分類討論	漏掉鉛直切線；平行線係數沒先化同；只算距離卻答不出垂足
5 數列級數	等差等比綜合； $Σ$ 換下標；一階遞迴不動點； $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ；等差數列的標準差 $= ∣ d ∣ \frac{n ^{2} - 1}{12}$	沒單獨驗 $n = 1$ （官方評分把它單獨算 1 分）；等比求和忘記討論 $r = 1$
6 數據分析	線性變換後的 $μ, σ$ ；由 $r, σ$ 求迴歸斜率；百分位數；標準差的最大／最小值	$σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ 掉絕對值；把 $r$ 當斜率；求極值時漏檢查排序或範圍限制
7 排列組合最高優先	相鄰／不相鄰；分組分堆配取捨；重複組合；二項式指定項；受限排列（錯位排列 $D_{n}$ ）；樹狀圖窮舉	該用餘事件卻硬算；分堆沒除以 $m!$ ；非選只寫答案沒寫分了哪幾種情形
8 機率	至少型（餘事件）；獨立性反解；期望值；幾何機率	樣本空間不等機率；分子分母計數方式不一致
9 三角比	餘弦定理判銳鈍；正弦定理兩解； $△ = r s = \frac{ab c}{4 R}$ 求內切圓與外接圓半徑及面積比；三角測量	兩解只寫一個；夾角用錯； $s$ 用成周長而非半周長

二、100 分鐘怎麼分配

階段	建議時間	要做的事
開卷 3 分鐘	3 分	先翻到最後看參考公式表有哪些，再快速掃一遍題目，把「一眼會」的題號在卷上打勾
單選題	約 25 分	照順序做。卡超過 4 分鐘就跳過並圈題號，先把分數拿滿
多選題	約 30 分	逐選項判定，把每個選項的「真/假」寫在卷上再劃卡，避免手滑
選填題	約 25 分	算完先化簡再看格數——格數會告訴你答案長什麼樣（幾位數、有沒有根號）
混合／非選	約 12 分	就算做不完，也要寫下用到的定理名稱＋第一個算式，那是分數
收尾	5 分	回頭處理圈起來的題；確認沒有任何單選題留空白（不倒扣）

三、計分規則轉成的三條作答鐵律

單選一律不留白。不倒扣，刪到剩兩個就猜，期望值一定是正的。
多選有把握 3 個選項就該作答。5 選項時錯 1 個仍有 3 分、錯 2 個仍有 1 分；全部不作答才是 0 分。
選填題花 10 秒檢查格式。最簡分數、最簡根式、分母有理化、負號佔一格。算對沒化簡＝0 分，這是最不值得的失分。

四、選填題答案格式自我檢查

分數

\frac{4}{6} \to \frac{2}{3}

；

\frac{10}{5} \to 2

（能約就約，能整除就寫整數）

根式

12 \to 23

；

\frac{6}{3} \to 23

（根號內不留平方因數，分母不留根號）

負號與小數負號自己佔一格；除非題目要求，不要把分數寫成小數

五、錯題本模板（每題只寫三行，不要抄詳解）

日期	章／題型	① 題目關鍵字	② 我錯在第幾步	③ 正確的第一步該怎麼想
8/24	2 指對數	$lo g$ 大小比較， $\frac{1}{2} < a < 1$	把 $lo g (a^{2})$ 當成 $(lo g a)^{2}$	先判正負： $lo g a < 0$ ，乘 2 只會更負
＿＿	＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿	＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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＿＿	＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿	＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

用網站練題的話，這三欄可以直接寫在錯題本的備註欄；重點是第②欄一定要具體到「第幾步」，寫「粗心」等於沒寫。

9/1 不要開新章節、不要做新題型。那天只做三件事：重看錯題本、默寫九章公式、看這一頁。
考前一天不要熬夜。這場是模考，它最大的價值是幫你在真正的學測前找出破洞——睡飽才量得準。
考完當天就把猜對的題標出來。模考真正要拿走的不是分數，是那份「哪裡其實不會」的清單。

給家長的三句話

這 9 天的計畫約 16 小時，平日 1.5 小時、週末 3 小時、最後一天 1 小時。孩子自己排不出來很正常——需要幫忙的是把時間空出來，不是盯著他寫。
最關鍵的一天是 8/30：100 分鐘的全真計時卷不能被打斷，加上 70 分鐘檢討。這 170 分鐘的品質，決定最後兩天補的是不是對的洞。
模考的價值不是分數，是那份「哪裡其實不會」的清單。孩子考完回來，先問他哪幾題是猜對的，再問分數。

六、9/1 公式默寫檢查表（E2 卷末不會給的，全在這裡）

蓋住右欄，只看名稱把式子默寫在白紙上，寫得出來才打勾。
⚠ 等差等比「級數和」、正弦定理、餘弦定理、標準差、相關係數、迴歸直線這六樣 E2 會印在卷末，不必背——下表已經把它們拿掉了，剩下的才是真的要記。

名稱	名稱	名稱	名稱
點到直線距離（E1 給、E2 不給）	兩點距離公式	兩點求斜率	一元二次公式解
圓一般式的心與半徑	弦長 $2 r^{2} - d^{2}$	切線三型	垂足與對稱點求法
算幾不等式（2、3 項）	分點公式	雙重根號拆解	三次乘法公式
對數律與換底	首數與位數關係	成長／衰退模型	$0 <$ 底 $< 1$ 不等式變號
餘式定理・因式定理	綜合除法（含 $2 x - 1$ 型）	除以二次式設 $a x + b$	根與係數（二次・三次）
一次近似的做法	三次函數對稱中心 $- \frac{b}{3 a}$	閉區間二次極值的比法	不等式符號表畫法
等差・等比的一般項（和會給）	$Σ k, Σ k^{2}, Σ k^{3}$	$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ （驗 $n = 1$ ）	一階遞迴不動點
線性變換 $μ, σ, r$ 的規則	等差數列的標準差	百分位數的取法	標準差極值的推法
$P_{r}^{n}, C_{r}^{n}, H_{r}^{n}$	環狀・不盡相異物	分組分堆（除以 $m!$ ）	二項式定理與通項
取捨原理（2、3 集合）	期望值・重複試驗	錯位排列 $D_{3}, D_{4}$	幾何機率的算法
三角形面積四式（ $\frac{1}{2} ab sin C = r s = \frac{ab c}{4 R}$ 、海龍）	誘導公式・象限正負	極坐標互換	正射影定理

御藍教育 ROYAL BLUE EDUCATION

把四屆真考卷拆成看得懂的重點，
讓複習的每一分鐘都花在真的會考的地方。

數學青於藍　·　AI 適性數學學習平台

這份是怎麼做出來的

把E2 連續四屆（111–114）的第二次模考卷逐題拆開，統計九章的實際題數與題型。
公式表給不給、選填怎麼計分、哪些能押哪些押不得，全部來自這四卷與官方詳解。

同一場模考的自然

自然科考前藍圖用同一套方法做了：
四科必修全範圍觀念、觀念例題、誘答陷阱總表、科學史速查。

怎麼用這兩份

先做開工診斷 18 題定位弱章，再照 9 天計畫走；
每天用 90 分鐘標準循環，錯題只寫三行不抄詳解。

本講義收錄

情考試情報・拆解四屆 E2・9 天讀書計畫1–6
5數列與級數20–21
法90 分鐘標準循環與兩條練題管道7–8
6數據分析：一維與二維22–23
診開工診斷 18 題（計時 45 分鐘）9
7集合・計數原理・排列組合・二項式24–26
1數與式：實數・絕對值・指數與根式10–11
8機率與期望值27–28
2指數與對數12–13
9三角比：廣義角・正弦與餘弦定理29–30
3多項式函數：除法・方程式與不等式14–16
終考前 48 小時檢核清單與作答策略31–33
4直線與圓17–19
　九章核心公式　·　對應例題全書

最後三天這樣用

D−3照九章核心公式各掃一遍，只補「四屆都出現」的技能；把對應例題做完。

D−2做錯題本與每章「一定要會的一題」自我抽考；默寫解法才算過。

D−1默寫 9/1 公式檢查表（E2 卷末不給的那些）；只看錯題本，不做新題型。

royalblue-education.com

照範圍自動出題＋錯題本。兩份講義都免費、不用註冊，轉給需要的同學就好。

資料依據　考試日期與範圍取自各校公告的「115 學年度 1–4 次學測模擬考範圍表」與試務中心模考日程；卷子結構、單元題數、參考公式表與非選評分方式，來自第二次全模（E2）連續四屆（111、112、113、114 學年度）逐題統計，單元歸類採用各卷詳解出版社自己標註的「出處」欄，另以跨版本同期模考作對照。
請這樣看表　9/2 的卷子還沒考，表上的數字是過去四屆的實際紀錄，不是預測。每一章的題數逐年都會變動，本講義的安排是把四屆共同出現的技能練熟，而不是押某一章。
版權　所有參考試卷均標明版權所有，本講義未重製其任何題目文字，只做結構統計與命題風格分析，所有例題均為另行編寫。
製作　御藍教育　2026-08-24。

9/2 第二次學測模考｜第一・二冊 考前藍圖

考試情報：這場考什麼、怎麼計分

一、卷子長什麼樣

二、參考公式表：卷末會給你哪些

拆解四屆 E2：哪些能押、哪些押不得

一、九個單元的實際題數（跨單元題兩邊都計）

二、三個容易押錯的地方

三、四屆之後唯一真正穩定的事實

9 天讀書計畫（每週 12 小時）

一、四份歷屆卷怎麼用（不是四份都整卷做）

二、時數盤點

三、逐日計畫

怎麼練：90 分鐘標準循環與兩條練題管道

一、90 分鐘標準循環（1.5 小時的那幾天照這個跑）

二、8/30 全真計時卷的步驟（這天最重要，不要打折）

開工診斷 18 題（今天（8/24）就做，計時 45 分鐘）

答案與對應章（錯幾題就填幾）

數與式：實數、絕對值、指數與根式

核心公式

大考這樣考

對應例題

指數與對數

核心公式

大考這樣考

對應例題

多項式函數：除法、方程式與不等式

核心公式

大考這樣考

對應例題

直線與圓

核心公式

大考這樣考

對應例題

數列與級數

核心公式

大考這樣考

對應例題

數據分析：一維與二維

核心公式

大考這樣考

對應例題

集合・計數原理・排列組合・二項式定理

核心公式

大考這樣考

對應例題

機率與期望值

核心公式

大考這樣考

對應例題

三角比：廣義角、正弦與餘弦定理

核心公式

大考這樣考

對應例題

考前 48 小時檢核清單與作答策略

一、每章「一定要會的一題」自我抽考（能默寫解法才算過）

二、100 分鐘怎麼分配

四、選填題答案格式自我檢查

五、錯題本模板（每題只寫三行，不要抄詳解）

六、9/1 公式默寫檢查表（E2 卷末不會給的，全在這裡）

9/2 第二次學測模考｜第一・二冊考前藍圖